آخر تحديث: 2026-07-01

الإحداثيات القطبية والديكارتية

يمكن تحديد موضع نقطة في المستوى بطريقتين متكافئتين. تعطي الإحداثيات الديكارتية (x، y) البُعد الأفقي والرأسي عن نقطة الأصل. وتعطي الإحداثيات القطبية (r، θ) المسافة المستقيمة r من نقطة الأصل، والزاوية θ التي يصنعها الخط الواصل إلى النقطة مع الجزء الموجب من محور x. يحوّل هذا المحوّل بين النظامين في كلا الاتجاهين، مع التعبير عن الزاوية بالدرجات أو بالراديان.

كلا الوصفين يشير إلى المكان نفسه؛ وأيّهما أنسب يتوقف على المسألة. تلائم الإحداثيات الديكارتية الشبكات والشاشات والحساب مكوّنًا مكوّنًا، بينما تلائم الإحداثيات القطبية الدورانات والحركة الدائرية وكل ما يوصَف بمسافة واتجاه.

من القطبية إلى الديكارتية

عند إنزال عمود من النقطة على محور x يتكوّن مثلث قائم الزاوية. نصف القطر r هو الوتر، والزاوية θ عند نقطة الأصل، والضلعان القائمان هما الإحداثيان تمامًا:

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

يعطي جيب التمام الضلع الأفقي، ويعطي الجيب الضلع الرأسي، لذا تنتج إشارتا x و y تلقائيًا من ربع المستوى الذي تقع فيه θ.

من الديكارتية إلى القطبية

في الاتجاه المعاكس نعكس المثلث. نصف القطر هو الوتر المستخرَج بنظرية فيثاغورس، والزاوية هي اتجاه النقطة:

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

تُستخدم دالة الظل العكسي بمعاملين atan2(y, x) بدلًا من arctan(y/x)؛ لأن النسبة y/x وحدها لا تميّز نقطة من نقطتها المقابلة، إذ تعطيان القيمة نفسها. وبإبقاء x و y منفصلين، تقرأ atan2 إشارتيهما وتعيد الزاوية في الربع الصحيح، عبر المدى الكامل من −180° إلى 180° (أو من −π إلى π بالراديان). وهي معرَّفة أيضًا عندما x = 0، حيث تقسم arctan(y/x) على صفر.

مثال محلول

المسألة: تحويل النقطة الديكارتية (3، 4) إلى الصورة القطبية.

نصف القطر هو المسافة عن نقطة الأصل:

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

والزاوية هي اتجاه النقطة:

θ = atan2(4, 3) ≈ 53.13°

فتصبح (3، 4) هي (5، 53.13°). ويؤكّد التحويل العكسي صحة الذهاب والإياب: x = 5·cos 53.13° ≈ 3 و y = 5·sin 53.13° ≈ 4.

نقطة الأصل ومدى الزاوية

نقطة الأصل هي الموضع الوحيد الذي تكون فيه الصورة القطبية ملتبسة: فعند r = 0 تبقى الزاوية θ غير معرَّفة، لأن كل اتجاه يؤدي إلى النقطة نفسها. وبعيدًا عن نقطة الأصل، تقع الزاوية التي تعيدها atan2 بين −180° و180°. وهناك أعراف أخرى — تذكر بعض المراجع الزوايا في المدى [0°، 360°) — فإضافة 360° (أو 2π) إلى زاوية سالبة تعطي القيمة الموجبة المكافئة عند تفضيل ذلك المدى.

اختيار الدرجات أو الراديان

تقيس الدرجات والراديان الزوايا نفسها: الدورة الكاملة هي 360° أو 2π، و180° = π. تشيع الدرجات في الهندسة والمساحة والملاحة، والراديان هو المعيار في التفاضل والتكامل والفيزياء، لأنه يجعل مشتقّات الدوال المثلثية بسيطة. اضبط وحدة الزاوية لتوافق قيمك الأصلية، وتتكفّل الأداة بالتحويل من الراديان وإليه في الاتجاهين.