آخر تحديث: 2026-07-01

حاسبة التوزيع المنتظم

التوزيع المنتظم المتصل هو أبسط نموذج احتمالي متصل: كل قيمة داخل الفترة [a, b] لها الاحتمال نفسه، ولا يمكن أن يقع شيء خارجها. يصف بطبيعته الحال «قيمة في مكان ما بين هذين الحدين، بلا تفضيل»، مثل خطأ التقريب، أو زمن وصول عشوائي ضمن نافذة زمنية ثابتة، أو نقطة عشوائية على قطعة مستقيمة. انطلاقاً من الحدين وفترة [c, d]، تُرجع هذه الحاسبة كثافة الاحتمال والمتوسط والتباين والاحتمال التراكمي P(X ≤ c) واحتمال الفترة P(c ≤ X ≤ d).

التوزيع المنتظم

يوصف التوزيع وصفاً كاملاً بمعاملين:

• a — الحد الأدنى، أصغر قيمة يمكن أن تأخذها X
• b — الحد الأعلى، أكبر قيمة يمكن أن تأخذها X

ولأن الاحتمال موزّع بالتساوي، فإن دالة كثافة الاحتمال ثابتة على [a, b] وصفر خارجها:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{غير ذلك} \end{cases}$$

يجب أن يساوي تكامل الكثافة على الفترة ذات العرض (b − a) قيمة 1، وهذا يفرض أن يكون الارتفاع الثابت مساوياً تماماً لـ 1 / (b − a).

دالة التوزيع التراكمي

تعطي دالة التوزيع التراكمي (CDF) احتمال أن تكون X أقل من أو تساوي قيمة x. في التوزيع المنتظم تكون خطاً مستقيماً يرتفع من 0 عند a إلى 1 عند b:

$$F(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b$$

فهي 0 دون a و 1 فوق b. وهذا الخط المائل المتصاعد هو ما يرسمه المخطط.

احتمال الفترة

احتمال وقوع X بين c و d هو نسبة العرض الكلي التي تشغلها الفترة [c, d]:

$$P(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}$$

وعندما يقع c أو d خارج [a, b]، يُقيَّد إلى الحد قبل القياس، فلا يتجاوز الاحتمال أبداً القيمة 1.

المتوسط والتباين

بما أن التوزيع متماثل، فإن القيمة المتوقعة تقع في المنتصف:

$$\mu = \frac{a + b}{2}$$

ويقيس التباين مدى التشتت. وللتوزيع المنتظم المتصل يكون:

$$\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$

ومن ثم فإن الانحراف المعياري يساوي (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a). ومضاعفة عرض الفترة تزيد التباين أربعة أضعاف.

المقدار	الصيغة
الكثافة f(x)	1 / (b − a)
المتوسط μ	(a + b) / 2
التباين σ²	(b − a)² / 12
التراكمي F(x)	(x − a) / (b − a)

مثال محلول

تصل حافلة إلى موقف في لحظة موزّعة توزيعاً منتظماً بين a = 0 و b = 15 دقيقة بعد وصولك. ما احتمال أن تنتظر بين c = 2 و d = 5 دقائق؟

أولاً الكثافة:

$$f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$

ثم احتمال الفترة:

$$P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0.2$$

إذن هناك احتمال بنسبة 20% أن يقع الانتظار ضمن تلك النافذة. والانتظار المتوقع هو:

$$\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7.5 \text{ دقيقة}$$

وبتباين قدره:

$$\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18.75$$

مما يعطي انحرافاً معيارياً يقارب 4.33 دقيقة.

الكثافة ليست احتمالاً

القيمة f(x) = 1 / (b − a) هي كثافة لا احتمال، وقد تزيد على 1 حين تكون الفترة ضيقة؛ فعند a = 0 و b = 0.5 تكون الكثافة 2. وهذا سليم: لا تصبح الكثافة احتمالاً إلا بعد ضربها في عرض. واحتمال أي قيمة مفردة محددة بالضبط هو صفر، لذا فإن P(c ≤ X ≤ d) يساوي P(c < X < d)؛ والطرفان لا يسهمان بشيء.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو التوزيع المنتظم المتصل؟

التوزيع المنتظم المتصل يمنح كل قيمة داخل الفترة [a, b] احتمالاً متساوياً واحتمالاً صفرياً خارجها. ولأن الكثافة مستوية، فإن أي فترتين جزئيتين بالعرض نفسه متساويتان في الاحتمال.

يُستخدم لنمذجة الحالات التي يكون فيها وقوع النتيجة متساوياً في أي موضع ضمن حدود معلومة، مثل خطأ التقريب في قياس ما أو زمن وصول عشوائي ضمن نافذة زمنية ثابتة.

ما الفرق بين دالة الكثافة ودالة التوزيع التراكمي هنا؟

دالة كثافة الاحتمال (PDF) ثابتة، f(x) = 1 / (b − a)، وتمثّل كثافة لا احتمالاً. أما دالة التوزيع التراكمي (CDF)، F(x) = (x − a) / (b − a)، فهي خط مستقيم يرتفع من 0 عند a إلى 1 عند b، ويعطي احتمال أن تكون X أقل من أو تساوي x. ويساوي احتمال الفترة P(c ≤ X ≤ d) قيمة F(d) − F(c).

كيف يُحسب المتوسط والتباين لتوزيع منتظم؟

المتوسط هو منتصف الفترة، μ = (a + b) / 2، لأن التوزيع متماثل. والتباين هو σ² = (b − a)² / 12؛ وبالتالي فإن الانحراف المعياري يساوي (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a). ويؤدي توسيع الفترة إلى زيادة التباين تربيعياً.

ما احتمال قيمة مفردة محددة بالضبط؟

في أي توزيع متصل، بما في ذلك المنتظم، يكون احتمال أي قيمة مفردة محددة بالضبط صفراً. الفترات وحدها هي التي تحمل احتمالاً غير صفري. لهذا يستخدم P(c ≤ X ≤ d) عرض الفترة؛ فالطرفان c و d بحد ذاتهما لا يسهمان بشيء، ومن ثم فإن P(c ≤ X ≤ d) يساوي P(c < X < d).