최종 업데이트: 2026-07-01

심프슨 공식

심프슨 공식은 곡선을 직선 조각이 아닌 포물선으로 바꾸어 정적분을 추정하는 방법입니다. 인접한 두 띠마다 세 점을 지나는 포물선을 맞추고, 그 포물선들 아래의 전체 넓이로 적분을 근사합니다. 포물선은 직선 현이 놓치는 곡률을 따라가므로, 같은 표본 노력이라면 심프슨 공식이 사다리꼴 공식보다 대체로 훨씬 정확합니다.

구간 [a, b]를 너비 h = (b − a) / n의 같은 n개 소구간으로 나눕니다. 여기서 n은 짝수입니다. 그러면 격자점은 x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b로 n + 1개가 됩니다. 각 점에서 함수를 계산하면 값 f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ)이 나오고, 근사는 다음과 같습니다.

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

이 계산기는 입력한 수식이 아니라 표본으로 주어진 함수값에서 계산합니다. 균등 간격의 n + 1개 점에서 f를 제공하는 방식으로, 측정 데이터나 표에서 값이 나오는 상황에 그대로 들어맞습니다.

가중치가 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1인 이유

간격이 h인 세 점의 블록 [x₀, x₁, x₂]를 봅니다. 이 점들을 지나는 유일한 포물선을 블록 위에서 정확히 적분하면

(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)

가 되어, 블록의 중점은 가중치 4, 양 끝은 가중치 1을 가집니다. 연속한 블록 [x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄], …를 이으면 각 블록의 중점은 가중치 4를 유지하고, 공유되는 경계점은 두 블록에 속하므로 가중치가 1 + 1 = 2가 됩니다. 바깥쪽 두 끝점은 한 블록에만 속하므로 가중치 1로 남습니다. 이 항들을 정리하면 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1에 모두 h/3을 곱한 형태가 됩니다. 이 블록의 짝짓기가 바로 n이 짝수여야 하는 이유입니다.

계산 예

n = 4 소구간으로 ∫₀¹ x² dx를 추정합니다. 간격은 h = (1 − 0) / 4 = 0.25이고 격자점은 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1입니다. x²의 표본값은 다음과 같습니다.

가중치 1, 4, 2, 4, 1로 공식을 적용합니다.

∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 4(0.0625) + 2(0.25) + 4(0.5625) + 1] ∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 0.25 + 0.5 + 2.25 + 1] = (0.25/3)·4 = 1/3

결과는 정확히 1/3으로 적분의 참값과 일치합니다. 이는 우연이 아닙니다. 심프슨 공식은 3차 이하의 다항식을 정확히 적분하므로, x² 같은 이차함수는 띠 개수와 무관하게 오차 없이 포착됩니다.

오차의 거동

심프슨 공식은 4차 정확도로, h를 절반으로 줄이면 오차가 약 16분의 1로 줄어듭니다. 4계 도함수가 연속인 함수에서는 [a, b] 위의 오차가 구간 안의 어떤 ξ에 대해

E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)

가 됩니다. 여기서 두 가지가 따라옵니다.

• 오차가 4계 도함수에 의존하므로 3차 이하의 다항식은 정확히 적분됩니다. 그 4계 도함수가 0이기 때문입니다.
• 매끄러운 곡선에서는 h⁴ 인자가 오차를 매우 빠르게 낮추므로, 적당한 수의 띠만으로도 높은 정확도를 얻는 경우가 많습니다.

심프슨 공식과 사다리꼴 공식

사다리꼴 공식은 점을 직선 조각으로 잇기 때문에 오차가 h²에 비례합니다(2차 정확도). 심프슨 공식은 포물선을 맞추어 h⁴(4차 정확도)에 이르며, 같은 점 수로도 훨씬 빠르게 수렴합니다. 절충점은 다음과 같습니다.

• 심프슨 공식은 소구간 개수가 짝수여야 하고, 사다리꼴 공식은 임의의 n에서 쓸 수 있습니다.
• 잡음이 많거나 불규칙한 데이터에서는 포물선을 억지로 맞추면 잡음이 커질 수 있어, 그럴 때는 사다리꼴 공식이 더 안정적입니다.

실용적 기준: 함수가 매끄럽고 같은 노력으로 높은 정확도를 원하면 심프슨 공식을, 빠른 추정·잡음이 많은 데이터·n이 홀수여야 하는 경우에는 사다리꼴 공식을 선택하세요.

실용상의 참고

• 짝수 소구간만. 심프슨 1/3 공식은 띠를 짝짓기 때문에 n은 짝수여야 합니다. 홀수 n은 계산기가 알려 줍니다.
• 개수를 맞추기. n개 소구간에는 정확히 n + 1개의 값(격자점마다 하나)을 넣어야 합니다. 어긋나면 간격이 일정하게 유지되도록 계산기가 알려 줍니다.
• 순서를 지키기. 값은 x₀ = a부터 xₙ = b까지 나열합니다. 내부의 홀수·짝수 번째 점은 가중치가 다르므로 순서가 중요합니다.
• 끝점 뒤바뀜. a가 b보다 크면 간격이 음수가 되어 결과의 부호가 바뀝니다. 이는 적분의 위아래 끝점을 바꾸면 부호가 바뀐다는 관례와 일치합니다.
• 등간격만. 이는 균등 격자 위의 심프슨 공식입니다. 간격이 불균등한 데이터에는 더 일반적인 수치적분 공식이 필요합니다.

관련 계산기

• 다항식 정적분 계산기 — 미적분학의 기본정리를 이용한 다항식의 정확한 적분
• 특정 점에서의 미분 계산기 — 한 점에서의 수치 미분
• 등차수열 계산기 — 등간격 값의 항과 합