آخر تحديث: 2026-07-01

ما الذي تفعله هذه الحاسبة

تُجري هذه الحاسبة اختبار t لعينة واحدة انطلاقاً من إحصاءات ملخّصة. بمعلومية متوسط عينة وانحرافه المعياري وحجم العينة، تقارن العينة بمتوسط مجتمع مفترض $\mu_0$ وتُعطي إحصائية t ودرجات الحرية وقيمة p للفرضية البديلة الثنائية أو الأحادية التي تختارها.

ما الذي يجيب عنه اختبار t لعينة واحدة

لنفترض أن عملية ما يُفترض أن تنتج متوسطاً معيناً: وزن تعبئة مستهدف يبلغ 50 غراماً، أو درجة اختبار مرجعية، أو زمن استجابة محدد. تجمع عينة فيقع متوسطها على مسافة قليلة من هذا الهدف. بعض الاختلاف متوقّع من التباين العشوائي وحده. يطرح اختبار t لعينة واحدة سؤالاً دقيقاً: إذا كان المتوسط الحقيقي للمجتمع هو $\mu_0$ فعلاً، فما مدى غرابة أن يقع متوسط العينة بهذا البُعد؟ والجواب هو قيمة p.

صيغة t

تقيس إحصائية t المسافة بين متوسط العينة $\bar{x}$ والمتوسط المفترض $\mu_0$ معبَّراً عنها بالأخطاء المعيارية:

حيث $s$ هو الانحراف المعياري للعينة و $n$ هو حجم العينة. المقام $s/\sqrt{n}$ هو الخطأ المعياري للمتوسط؛ يتقلّص مع كِبَر العينة، فتصبح المسافة نفسها بين $\bar{x}$ و $\mu_0$ أكثر إقناعاً مع مزيد من البيانات.

درجات الحرية

التوزيع المرجعي هو توزيع t لستيودنت بدرجات حرية

يكلّف تقدير الانحراف المعياري من البيانات نفسها درجة حرية واحدة. تُكسِب درجاتُ الحرية الأقل توزيعَ t ذيولاً أثقل، مما يجعل الاختبار أكثر تحفّظاً بشكل مناسب مع العينات الصغيرة. ومع كِبَر $n$ يقترب توزيع t من التوزيع الطبيعي المعياري.

قيمة p وكيفية قراءتها

بمجرد معرفة $t$ و $df$، تعتمد قيمة p على الفرضية البديلة. وبكتابة $F_t$ لدالة التوزيع التراكمي لتوزيع t:

• ثنائي الذيل ($\mu \ne \mu_0$): $\;p = 2\left[1 - F_t(|t|,\, df)\right]$
• الذيل الأيمن ($\mu > \mu_0$): $\;p = 1 - F_t(t,\, df)$
• الذيل الأيسر ($\mu < \mu_0$): $\;p = F_t(t,\, df)$

قارِن قيمة p بمستوى دلالة $\alpha$ يُختار قبل النظر في البيانات، وهو 0.05 عادةً:

• p < α — النتيجة دالة إحصائياً؛ تقدّم البيانات دليلاً ضد $\mu = \mu_0$.
• p ≥ α — لا تقدّم البيانات دليلاً كافياً لرفض μ₀ (وهذا ليس مثل إثبات أن المتوسط يساوي μ₀).

قيمة p ليست احتمال صحة الفرضية الصفرية، والنتيجة غير الدالة ليست دليلاً على «انعدام الفرق». إنها تقيس فقط مدى توافق البيانات مع المتوسط المفترض.

مثال محلول

عينة من $n = 30$ مشاهدة متوسطها $\bar{x} = 52$ وانحرافها المعياري $s = 5$. نختبر مقابل متوسط مفترض $\mu_0 = 50$ باستخدام بديل ثنائي الذيل.

بما أن $p \approx 0.037$ أقل من 0.05، يختلف متوسط العينة اختلافاً دالاً عن 50 عند مستوى 5%. ولو كنّا قد حدّدنا مسبقاً بديلاً بالذيل الأيمن، لكانت قيمة p النصف، أي $\approx 0.0183$.

تخبرك قيمة p الدالة بأن الفرق قابل للكشف، لا بمدى كِبَره نسبةً إلى تشتّت البيانات. ولربط المتوسط الحقيقي بمدى من القيم المعقولة بدل حكم بنعم أو لا، اقرن الاختبار بـ حاسبة فترة الثقة.

الافتراضات

يقوم اختبار t لعينة واحدة على بضعة شروط:

• الاستقلالية — تُسحب المشاهدات من المجتمع بشكل مستقل.
• الاعتدالية التقريبية — يكون المجتمع الأساسي طبيعياً تقريباً، أو تكون العينة كبيرة بما يكفي ليجعل نظريةُ النهاية المركزية توزيعَ المعاينة للمتوسط طبيعياً تقريباً. وبأحجام معتدلة ودون التواء شديد يكون الاختبار متيناً إلى حد كبير.
• انحراف معياري مقدَّر من العينة — وهذا بالضبط سبب كون توزيع t، لا التوزيع الطبيعي، هو المرجع الصحيح.

عندما تقارن مجموعتين مستقلتين بدلاً من عينة واحدة مقابل قيمة ثابتة، استخدم بدلاً من ذلك حاسبة اختبار t لعينتين (ويلش). وإذا كانت إحصائية اختبارك بالفعل قيمة z مِعيارية، فإن حاسبة القيمة الاحتمالية من الدرجة المعيارية z تحوّلها إلى قيمة p باستخدام التوزيع الطبيعي.