Última actualización: 2026-07-01

Definición

El teorema del binomio desarrolla una potencia de una suma de dos términos en una suma de términos:

Cada término combina un coeficiente binomial $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ con $a$ elevado a $(n-k)$ y $b$ elevado a $k$. Cuando $k$ va de $0$ a $n$, la potencia de $a$ baja de $n$ a $0$ mientras la de $b$ sube de $0$ a $n$, de modo que ambos exponentes siempre suman $n$.

Término general

El término de índice $k$ (contando desde $0$) es:

Esto es lo que calcula el campo del índice del término. Con $k = 0$ se obtiene el término inicial $a^n$; con $k = n$, el término final $b^n$. Leer un término a la vez resulta cómodo cuando solo se necesita un coeficiente concreto o el término que lleva una potencia dada, sin escribir todo el desarrollo.

Ejemplo resuelto

Tomamos $(2 + 3)^4$ y leemos el término en $k = 2$. Primero el coeficiente:

Luego el término completo $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$:

El desarrollo completo es $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$, que coincide con $5^4$ como comprobación.

Coeficientes y triángulo de Pascal

Los coeficientes $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ forman la fila $n$ del triángulo de Pascal, con el vértice contado como fila $0$. Cumplen la recurrencia:

de modo que cada entrada es la suma de las dos situadas justo encima. Para $(a + b)^3$ la fila es $1, 3, 3, 1$; para $(a + b)^4$ es $1, 4, 6, 4, 1$. El gráfico de coeficientes de arriba traza esta fila directamente.

Simetría

Los coeficientes binomiales son simétricos:

por lo que una fila se lee igual hacia adelante que hacia atrás. Esto refleja que elegir qué $k$ factores aportan una $b$ equivale a elegir qué $n-k$ factores aportan una $a$.

Suma de los coeficientes

Al poner $a = b = 1$, el teorema se reduce a una identidad compacta:

Los coeficientes de cualquier fila suman, por tanto, una potencia de dos: la fila de $n = 3$ suma $8$ y la de $n = 6$ suma $64$. Con $a = 1, b = -1$ se obtiene la suma alternada, que vale $0$ para todo $n \geq 1$.

Aplicaciones habituales

• Álgebra: desarrollo de polinomios y simplificación de expresiones elevadas a una potencia.
• Probabilidad: los coeficientes sostienen la distribución binomial, donde $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ es la probabilidad de $k$ éxitos en $n$ ensayos.
• Aproximación: para $x$ pequeño, conservar los dos primeros términos de $(1 + x)^n$ da la estimación $1 + nx$.
• Combinatoria: identidades como la suma de la fila $2^n$ y la suma alternada $0$ se siguen directamente del teorema.

Notas prácticas

Se requiere un exponente entero. La forma anterior supone que $n$ es un número entero. Los exponentes fraccionarios o negativos usan la serie binomial generalizada, una suma infinita que es otro tema.

Términos inicial y final. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, así que el primer y el último coeficiente de todo desarrollo valen $1$.

Para los coeficientes por sí solos — los valores «$n$ sobre $k$» sin las potencias de $a$ y $b$ — se usa la Calculadora de combinaciones — C(n, r).