Última actualización: 2026-07-01

Prueba chi-cuadrado de independencia

La prueba chi-cuadrado de independencia pregunta si dos variables categóricas medidas en los mismos sujetos están relacionadas o son independientes. Los datos viven en una tabla de contingencia: cada celda contiene el número de observaciones que caen en una combinación de categorías — para una tabla 2×2, dos categorías por variable. La prueba compara las frecuencias que realmente observaste con las que esperarías si las dos variables no tuvieran relación, y devuelve un estadístico, sus grados de libertad y un valor p. Es la herramienta estándar para preguntas como si un tratamiento se asocia con un resultado, si una preferencia depende de la pertenencia a un grupo, o si dos respuestas de una encuesta se mueven juntas.

Frecuencias esperadas bajo independencia

Si dos variables son independientes, la proporción de la muestra en cualquier fila no debería depender de qué columna mires. Eso fija lo que debe contener cada celda. La frecuencia esperada de una celda es su total de fila por su total de columna, dividido por el total general:

$E_{ij} = \frac{(\text{total fila } i)\,(\text{total columna } j)}{N}$

donde $N$ es el número total de observaciones. Es simplemente la fracción de la muestra en la fila $i$ multiplicada por la fracción en la columna $j$, reescalada de nuevo a $N$. Es clave que las frecuencias esperadas provienen de los propios márgenes de la tabla — no las proporcionas tú, y eso separa esta prueba de la de bondad de ajuste.

El estadístico

La prueba resume la brecha entre observación y expectativa con el estadístico de Pearson:

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

sumado sobre cada celda, donde $O$ es una frecuencia observada y $E$ su frecuencia esperada. Cada desviación al cuadrado se divide por la frecuencia esperada, de modo que una diferencia de diez pesa mucho cuando se esperaban cinco pero poco cuando se esperaban cinco mil. La suma da un solo número que crece a medida que la tabla se aleja de la independencia. Cuando las frecuencias observadas igualan exactamente a las esperadas, cada término es cero y $\chi^2 = 0$.

Para una tabla 2×2 la suma completa se reduce a un atajo algebraico compacto. Etiquetando las celdas como

el estadístico es

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Los cuatro factores del denominador son los dos totales de fila y los dos totales de columna. El término del producto cruzado $ad - bc$ mide cuánto se aleja la tabla de la proporcionalidad: es cero exactamente cuando las filas son proporcionales, que es el caso de independencia perfecta.

Grados de libertad y valor p

El estadístico se compara con una distribución chi-cuadrado cuya forma queda fijada por sus grados de libertad. Para una tabla de contingencia,

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

donde $r$ es el número de filas y $c$ el de columnas. Una tabla 2×2 tiene por tanto un grado de libertad. Intuitivamente, una vez fijados los totales de fila y columna, rellenar una sola celda determina todas las demás, así que solo una celda es libre de variar.

El valor p es la probabilidad de la cola superior — la posibilidad de ver un estadístico al menos tan grande como el observado si las dos variables fueran independientes. La prueba es intrínsecamente unilateral en la cola superior: solo los valores grandes de $\chi^2$ señalan asociación, mientras que los pequeños significan que la tabla está cerca de la independencia. Compara el valor p con un nivel de significación $\alpha$ (comúnmente cinco por ciento). Cuando $p < \alpha$, la separación de la independencia es mayor de lo que el ruido de muestreo explica cómodamente, y concluyes que las variables están asociadas. Cuando $p \ge \alpha$, los datos son compatibles con la independencia — lo que no equivale a probar que las variables no están relacionadas.

Ejemplo resuelto

Supongamos que una clínica registra si los pacientes se recuperaron bajo dos tratamientos:

Aquí $a = 30$, $b = 10$, $c = 20$, $d = 40$ y $N = 100$. Usando el atajo,

Con una tabla 2×2 la prueba tiene un grado de libertad. El valor p de la cola superior para $\chi^2 \approx 16.667$ con un grado de libertad es de unos $0.0000446$. Como $p \lt 0.01$, hay evidencia fuerte de que la recuperación está asociada al tratamiento: los pacientes con el Tratamiento A se recuperaron mucho más de lo que predeciría la independencia.

Supuestos

La aproximación chi-cuadrado descansa en algunas condiciones. Las frecuencias esperadas deben ser razonablemente grandes — una regla práctica común exige que cada frecuencia esperada sea al menos 5. Para una tabla 2×2 con frecuencias esperadas pequeñas, aplica la corrección de continuidad de Yates o pasa a la prueba exacta de Fisher. Las observaciones deben ser independientes, cada sujeto contado una vez y cayendo en exactamente una celda, así que la prueba no se aplica a mediciones pareadas o repetidas (usa la prueba de McNemar para esas). Por último, la prueba trabaja con frecuencias en bruto, no con porcentajes o proporciones: convierte cualquier tasa en frecuencias antes de introducirla.

Para comparar una variable categórica con una distribución hipotética fija en lugar de dos variables entre sí, consulta la Prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste; para convertir un estadístico z en una probabilidad de cola, consulta Valor p a partir de la puntuación z.