Última actualización: 2026-05-19

Definición de longitud de arco

La longitud de arco es la distancia medida a lo largo de un arco circular entre dos puntos. Depende de dos magnitudes: el radio r del círculo y el ángulo central θ que subtiene el arco. Es un concepto presente en geometría, ingeniería, arquitectura y física, así como en los temarios de matemáticas de bachillerato y universidad.

Esta calculadora obtiene tres valores a partir de r y θ:

• Longitud de arco s — distancia curva a lo largo de la circunferencia
• Longitud de cuerda c — distancia recta entre los dos extremos del arco
• Fracción de la circunferencia f — qué parte del círculo completo representa el arco

La fórmula de la longitud de arco

$s = r \cdot \theta$

donde θ debe estar expresado en radianes. La fórmula es consecuencia directa de la definición del radián: un radián es el ángulo que subtiene un arco de longitud igual al radio.

Demostración

La circunferencia completa es 2πr (para θ = 2π radianes). La fracción θ/(2π) del círculo da:

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

La salida «Fracción de la circunferencia» f = θ/(2π) se deduce de aquí.

Cálculo en grados

En muchos contextos los ángulos se expresan en grados. La conversión a radianes es:

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grad}} \times \frac{\pi}{180}$

También puede usarse directamente:

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{grad}}}{360}$

Ejemplo: r = 8 m, θ = 135°

• Conversión: 135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2,356 rad
• Longitud de arco: s = 8 × 2,356 ≈ 18,85 m
• Fracción: 135/360 = 0,375 (tres octavos del círculo)

Esta calculadora acepta grados directamente, sin necesidad de conversión previa.

Longitud de cuerda

La cuerda es la recta que une los dos extremos del arco y siempre es más corta que él:

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Ejemplo práctico: r = 10 m, θ = 90° (π/2 rad)

Magnitud	Fórmula	Valor
Longitud de arco s	10 × π/2	≈ 15,71 m
Longitud de cuerda c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14,14 m
Fracción f	90 / 360	= 0,25

El arco es aproximadamente un 11 % más largo que la cuerda en este caso.

Ángulos especiales

Ángulo central	Longitud de arco	Longitud de cuerda	Observación
60°	πr/3	r	Cuerda = radio (triángulo equilátero)
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	Cuarto de círculo
180°	πr	2r	Cuerda = diámetro
360°	2πr	0	Circunferencia completa; extremos coinciden

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo se calcula la longitud de arco?

La longitud de arco s se calcula con s = r · θ, donde θ está en radianes. Para un radio de 5 m y un ángulo de 2 radianes, s = 5 × 2 = 10 m. La fórmula se deduce directamente de la definición del radián: un radián es el ángulo que subtiende un arco igual al radio. Si el ángulo está en grados, convierte primero: θ_rad = θ_grad × π / 180.

¿Cómo calculo la longitud de arco en grados?

Usa la fórmula s = 2πr × (θ° / 360), que es equivalente a convertir primero a radianes. Ejemplo: r = 10 m, θ = 90° → s = 2π × 10 × 0,25 = 5π ≈ 15,71 m. Esta calculadora acepta grados directamente, sin conversión manual.

¿Cuál es la diferencia entre longitud de arco y longitud de cuerda?

La longitud de arco s = r · θ es la distancia curva a lo largo del círculo; la cuerda c = 2r · sin(θ/2) es la distancia recta entre los dos extremos. La cuerda siempre es menor o igual que el arco. Para r = 10 m y θ = 90°: arco ≈ 15,71 m, cuerda = 10√2 ≈ 14,14 m. A θ = 180°, la cuerda iguala al diámetro 2r.

¿Cómo se relacionan la longitud de arco y la circunferencia?

La circunferencia C = 2πr es la longitud de arco del círculo completo (θ = 2π radianes = 360°). Cualquier arco es una fracción de la circunferencia: s = C × (θ / 2π). La salida 'Fracción de la Circunferencia' f = θ / 2π lo muestra directamente: f = 0,25 significa un cuarto de círculo.