Última actualización: 2026-07-01

Aritmética de números complejos

Un número complejo combina una parte real y una parte imaginaria en una sola cantidad, escrita a + bi, donde i es la unidad imaginaria definida por i² = −1. El número a es la parte real y b es el coeficiente de la parte imaginaria. Esta calculadora toma dos números complejos, z₁ = a + bi y z₂ = c + di, aplica la operación que elijas — suma, resta, multiplicación o división — e indica el resultado junto con su módulo y su argumento.

Los números complejos amplían la recta real a un plano bidimensional, lo que los hace indispensables en ingeniería eléctrica, procesamiento de señales, teoría de control y mecánica cuántica.

Las cuatro operaciones

La suma y la resta se realizan componente a componente, igual que al sumar vectores:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

La multiplicación se desarrolla como dos binomios y, usando i² = −1, el término i² vuelve a la parte real:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

La división multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, c − di. Esto elimina la parte imaginaria del denominador y deja el valor real c² + d²:

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

La división está definida para todo z₂ salvo 0 + 0i, donde c² + d² = 0.

Ejemplo resuelto

Problema: Multiplica z₁ = 3 + 4i por z₂ = 1 + 2i.

Usando la regla de multiplicación con a = 3, b = 4, c = 1, d = 2:

• Parte real: ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• Parte imaginaria: ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

Por tanto, z₁ z₂ = −5 + 10i.

El módulo del resultado es √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11,18, y su argumento es atan2(10, −5) ≈ 116,57°, que se sitúa en el segundo cuadrante porque la parte real es negativa y la imaginaria positiva.

Módulo y argumento

Todo número complejo corresponde a un punto del plano, con la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical. Dos cantidades polares describen ese punto:

• El módulo r = √(x² + y²) es la distancia al origen. Mide el tamaño del número.
• El argumento φ es el ángulo medido desde el eje real positivo. La arcotangente de dos argumentos, φ = atan2(y, x), coloca el ángulo en el cuadrante correcto y devuelve un valor entre −180° y 180° (o entre −π y π en radianes).

Forma binómica frente a forma polar

La forma binómica, x + yi, indica directamente las coordenadas horizontal y vertical. La forma polar, r(cos φ + i sin φ), usa en cambio la distancia y el ángulo. Las dos formas describen el mismo número; elegir entre ellas es cuestión de conveniencia.

La suma y la resta son más sencillas en forma binómica, ya que las partes se combinan de manera independiente. La multiplicación, la división y las potencias son más sencillas en forma polar: los módulos se multiplican o dividen mientras los argumentos se suman o restan. El teorema de De Moivre se apoya directamente en esto y convierte la engorrosa tarea de elevar un número complejo a una potencia en una sola multiplicación del argumento.