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Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Calculadora de intervalo de confianza para una proporción

Datos de entrada

Número de éxitos320
Tamaño de la muestra500
Nivel de confianza95%

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/confidence-interval-proportion

Matemáticas

Calculadora de intervalo de confianza para una proporción

Calcula el intervalo de confianza y el margen de error de una proporción muestral: introduce los éxitos y el tamaño de la muestra, elige un nivel de confianza del 90 %, 95 % o 99 % y consulta tanto el intervalo de Wald como el de Wilson.

Datos de entrada

Datos de la muestra

≥ 1

Resultados

Introduce un valor para ver los resultados.

%
%

Estimación puntual y margen

%
%

Intervalo de Wilson

%
%

Paso a paso

\hat p = \dfrac{x}{n} = \dfrac{320}{500} = ?\%
\begin{aligned} E &= z^{*} \sqrt{\dfrac{\hat p\,(1 - \hat p)}{n}} \\ &= ? \sqrt{\dfrac{\frac{320}{500}\left(1 - \frac{320}{500}\right)}{500}} \\ &= ?\% \end{aligned}
\text{Lower} = \hat p - E = ?\% - ?\% = ?\%
\text{Upper} = \hat p + E = ?\% + ?\% = ?\%

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Intervalo de confianza para una proporción

Cuando una encuesta informa que el 64 % de los encuestados apoya una medida, ese único porcentaje es solo una estimación puntual de una muestra. Un intervalo de confianza lo convierte en un rango de valores plausibles para la proporción real de la población, junto con un nivel de confianza declarado. Combina la proporción muestral con un margen de error que refleja cuánto puede variar la estimación de una muestra a otra.

Fórmulas

Con xx éxitos en una muestra de tamaño nn, la proporción muestral es:

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

Error estándar:

SE=p^ (1−p^)nSE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Margen de error:

E=z∗×SE=z∗p^ (1−p^)nE = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Intervalo de confianza de Wald:

p^±E=[p^−E, p^+E]\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]

Valores z críticos (distribución normal estándar):

Nivel de confianzaz∗z^{*}
90 %1,6449
95 %1,9600
99 %2,5758

Wald frente a Wilson

El intervalo de Wald anterior es la fórmula que aparece en la mayoría de los manuales de introducción: simétrica alrededor de p^\hat{p} y fácil de calcular. Su debilidad es que depende de la aproximación normal a la binomial, que falla cuando la muestra es pequeña o la proporción está cerca de 0 o 1. En esos casos el intervalo de Wald es demasiado estrecho, su cobertura queda por debajo del nivel declarado e incluso puede dar límites por debajo del 0 % o por encima del 100 %.

El intervalo de puntuación de Wilson lo corrige invirtiendo el test de puntuación en lugar de suponer simetría:

p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}

Los límites de Wilson siempre se mantienen entre 0 y 100 %, el intervalo es asimétrico y su cobertura se acerca al nivel objetivo incluso con nn pequeño. Hoy muchos estadísticos tratan a Wilson como la opción por defecto; esta calculadora presenta ambos para compararlos lado a lado.

¿Cuándo es válida la aproximación normal?

Una regla práctica habitual es que solo se puede confiar en el intervalo de Wald cuando se cumplen a la vez

np^≥5yn(1−p^)≥5n\hat{p} \geq 5 \quad \text{y} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5

(algunos textos exigen 10). Con muy pocos éxitos, una proporción cercana a 0 o 1 o una muestra pequeña, cambia al intervalo de puntuación de Wilson o a un intervalo exacto de Clopper-Pearson.

Interpretación

Un intervalo de confianza del 95 % no significa que haya un 95 % de probabilidad de que la proporción real esté dentro de un rango concreto. La proporción real de la población es una constante fija y desconocida; el objeto aleatorio es el intervalo, porque se construye a partir de una muestra aleatoria.

El significado preciso es una afirmación sobre el procedimiento: si se repitieran muchas veces el mismo muestreo y la misma construcción del intervalo, alrededor del 95 % de los intervalos resultantes contendrían la proporción real. Cualquier intervalo concreto la contiene o no.

Encuestas y el margen de error

La cobertura mediática de una encuesta suele indicar un único «margen de error, ±3 puntos porcentuales». Esa cifra es exactamente E=z∗p^(1−p^)/nE = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} al 95 % de confianza. Como p^(1−p^)\hat{p}(1-\hat{p}) es máximo en p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, las encuestadoras suelen citar el margen para p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, de modo que una sola cifra cubre de forma conservadora todas las preguntas.

El margen de error se reduce con n\sqrt{n}: reducirlo a la mitad exige cuadruplicar el tamaño de la muestra.

Tamaño de la muestraMargen de error (95 %, p^=0,5\hat{p} = 0{,}5)
n = 100±9,8
n = 400±4,9
n = 1000±3,1
n = 1600±2,5

Ejemplo resuelto: encuesta de apoyo

Una encuesta a 500 votantes encuentra 320 a favor de una propuesta.

Proporción muestral: p^=320/500=0,64\hat{p} = 320 / 500 = 0{,}64

Error estándar: SE=0,64×0,36/500≈0,0215SE = \sqrt{0{,}64 \times 0{,}36 / 500} \approx 0{,}0215

Margen de error al 95 %: E=1,96×0,0215≈0,0421E = 1{,}96 \times 0{,}0215 \approx 0{,}0421

Intervalo de Wald:

0,64±0,0421=[0,5979, 0,6821]=[59,79 %, 68,21 %]0{,}64 \pm 0{,}0421 = [0{,}5979,\ 0{,}6821] = [59{,}79\,\%,\ 68{,}21\,\%]

El intervalo de puntuación de Wilson para los mismos datos es [59,70 %, 68,09 %][59{,}70\,\%,\ 68{,}09\,\%]: aquí casi idéntico porque n=500n = 500 es grande y p^=0,64\hat{p} = 0{,}64 está lejos de los extremos. Los dos intervalos se separan más cuando la muestra es pequeña o la proporción está cerca de 0 o 1.

Interpretación: «A partir de esta muestra de 500, estimamos que entre el 60 % y el 68 % de todos los votantes apoyan la propuesta, con un 95 % de confianza.»

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué diferencia hay entre el intervalo de Wald y el de Wilson?

El intervalo de Wald (p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)) es la fórmula de los manuales: simple, simétrica alrededor de p̂ y de cálculo rápido. Funciona bien cuando la muestra es grande y p̂ está cerca de 0,5, pero rinde mal en muestras pequeñas o proporciones próximas a 0 o 1; incluso puede dar límites por debajo del 0 % o por encima del 100 %. El intervalo de puntuación de Wilson resuelve el mismo problema invirtiendo el test de puntuación: se mantiene siempre entre 0 y 100 %, es asimétrico y su cobertura queda cerca del nivel declarado incluso con n pequeño. Hoy muchos estadísticos recomiendan Wilson como opción por defecto. Esta calculadora muestra ambos para que los compares.

¿Cómo se relaciona con el «margen de error» de una encuesta?

Cuando una encuesta informa «52 % de apoyo, margen de error ±3 puntos», ese ±3 es exactamente el margen de error E = z*·√(p̂(1−p̂)/n) al 95 % de confianza. Como p̂(1−p̂) es máximo en p̂ = 0,5, las empresas suelen citar el margen para p̂ = 0,5, de modo que una sola cifra cubre de forma conservadora todas las preguntas de la encuesta. Introduce el porcentaje informado como éxitos sobre el tamaño de la muestra para reproducir el intervalo.

¿Cuándo es válida la aproximación normal?

El intervalo de Wald se apoya en la aproximación normal a la binomial, razonable cuando tanto n·p̂ como n·(1 − p̂) son al menos 5 (algunos textos usan 10). Con pocos éxitos o una proporción cercana a 0 o 1 la aproximación falla y el intervalo de Wald se vuelve poco fiable: es justo la situación en la que conviene usar el intervalo de puntuación de Wilson (o un intervalo exacto de Clopper-Pearson).

¿Cómo debo interpretar el intervalo obtenido?

Un intervalo de confianza del 95 % de 59,79 % a 68,21 % no significa que haya un 95 % de probabilidad de que la proporción real esté en ese rango: la proporción real es fija. Significa que el procedimiento que generó este intervalo captura la proporción poblacional real el 95 % de las veces al repetir el muestreo. En la práctica: puedes confiar razonablemente en que la proporción real cae dentro de los límites indicados, y un intervalo más ancho señala una muestra menor o un nivel de confianza más exigente.

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