Última actualización: 2026-05-22

Definición

El coeficiente de correlación de Pearson (r) es una medida adimensional, comprendida entre −1 y +1, que cuantifica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables numéricas. Un valor de r = +1 indica correlación positiva perfecta; r = −1, correlación negativa perfecta; r = 0, ausencia de relación lineal. La calculadora acepta dos series de valores separados por comas y devuelve r, el coeficiente de determinación (r²) y una clasificación automática de la intensidad.

La fórmula

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

El numerador es la suma de productos cruzados de las desviaciones: mide si X e Y tienden a alejarse de sus medias respectivas en la misma dirección (producto positivo) o en direcciones opuestas (producto negativo). El denominador normaliza por la dispersión total de cada variable, de modo que r siempre queda entre −1 y +1 independientemente de las unidades o magnitudes de X e Y.

Ejemplo paso a paso

Con los datos de ejemplo: X = [1, 2, 3, 4, 5] e Y = [2, 4, 5, 4, 5].

Paso 1 — Calcular las medias.

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4$

Paso 2 — Calcular desviaciones y productos cruzados.

i	xᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ	yᵢ − ȳ	(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)	(xᵢ−x̄)²	(yᵢ−ȳ)²
1	1	−2	2	−2	4	4	4
2	2	−1	4	0	0	1	0
3	3	0	5	+1	0	0	1
4	4	+1	4	0	0	1	0
5	5	+2	5	+1	2	4	1
		Σ			6	10	6

Paso 3 — Aplicar la fórmula.

$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$

$r^2 = (0{,}7746)^2 \approx 0{,}60$

Interpretación: r ≈ 0,77 — correlación fuerte y positiva. Aproximadamente el 60 % de la varianza de Y queda explicada por la relación lineal con X.

Cómo interpretar el valor de r

Rango de r	Interpretación
0,7 ≤ r ≤ 1,0	Positiva fuerte (r = 1: perfecta)
0,3 ≤ r < 0,7	Positiva moderada
−0,3 < r < 0,3	Débil o sin relación lineal apreciable
−0,7 < r ≤ −0,3	Negativa moderada
−1,0 ≤ r ≤ −0,7	Negativa fuerte (r = −1: perfecta)

Estos umbrales son orientativos, no reglas fijas. En epidemiología, r = 0,3 puede ser clínicamente relevante; en ingeniería de precisión, r < 0,99 podría ser inaceptablemente ruidoso.

r frente a r²

r y r² responden a preguntas distintas:

• r indica la dirección y la intensidad de la asociación lineal. Un valor de −0,9 es igual de fuerte que +0,9; el signo solo informa sobre el sentido de la relación.
• r² (coeficiente de determinación) expresa la proporción de la varianza de Y que explica X. Su rango va de 0 a 1 y no tiene signo. Un r² = 0,64 significa que el 64 % de la dispersión de Y se debe a la tendencia lineal con X.

Para saber qué tan estrecha es la relación lineal, r es la medida adecuada. Para cuantificar qué proporción de la varianza de Y explica X, r² es la más informativa.

Correlación no implica causalidad

Un r elevado solo significa que X e Y varían juntas de forma lineal; no dice nada sobre el porqué. Algunos ejemplos clásicos:

• Las ventas de helado y los ahogamientos en playas alcanzan su pico en verano (causa común: el calor).
• En niños, el tamaño del pie y el nivel de lectura están positivamente correlacionados (causa común: la edad y el desarrollo).
• Los países con mayor número de televisores por hogar tienen mayor esperanza de vida (ambos reflejan el nivel de riqueza).

Para establecer causalidad se necesitan experimentos controlados, una secuencia temporal clara (la causa precede al efecto) y la exclusión sistemática de factores de confusión.

Cuándo usar Spearman en lugar de Pearson

La correlación de Pearson asume que:

1. Ambas variables son continuas (escala de intervalo o de razón).
2. La relación entre ellas es aproximadamente lineal.
3. No hay valores atípicos extremos que dominen el resultado.

Cuando estas condiciones no se cumplen, la alternativa es la correlación de rangos de Spearman: se convierten los datos en rangos y se calcula el r de Pearson sobre esos rangos. Spearman maneja bien los datos ordinales, las relaciones monótonas pero curvas y los conjuntos con valores extremos. Regla práctica: si el diagrama de dispersión muestra un patrón consistente pero claramente curvado, o si uno o dos puntos se alejan mucho del resto, Spearman es la opción más robusta.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué significa un coeficiente de correlación de 0,7?

Un valor de r = 0,7 indica una relación lineal positiva fuerte entre X e Y. Al aumentar X, Y también tiende a crecer, y los datos se ajustan bastante bien a una línea recta.

Como referencia general, se considera fuerte cuando |r| ≥ 0,7, moderada cuando 0,3 ≤ |r| < 0,7, y débil cuando |r| < 0,3 — aunque los umbrales exactos varían según el campo: en ciencias sociales, r = 0,5 suele considerarse fuerte; en ingeniería o física, r < 0,99 puede indicar demasiado ruido.

¿Correlación alta implica relación de causa y efecto?

No. Una r elevada solo significa que X e Y varían juntas de forma lineal, pero no explica el motivo. Una tercera variable (factor de confusión) puede estar impulsando ambas.

Un ejemplo clásico: el consumo de helado y las muertes por ahogamiento aumentan al mismo tiempo en verano — no porque uno cause el otro, sino porque ambos dependen del calor. Para demostrar causalidad hacen falta experimentos controlados, una secuencia temporal clara (la causa precede al efecto) y la exclusión de factores de confusión.

¿Cuál es la diferencia entre r y r²?

El coeficiente r de Pearson mide la dirección e intensidad de la relación lineal: va de −1 (relación negativa perfecta) a +1 (relación positiva perfecta). El coeficiente de determinación r² indica la proporción de la varianza de Y explicada por X.

Por ejemplo, r = 0,8 da r² = 0,64, lo que significa que el 64 % de la variación de Y se debe a su relación lineal con X. El valor r² siempre es positivo y resulta más intuitivo como porcentaje, pero pierde la información del signo: con solo r² no sabes si la relación es positiva o negativa.

¿Cuándo conviene usar la correlación de Spearman en lugar de la de Pearson?

Usa la correlación de rangos de Spearman cuando los datos son ordinales (categorías ordenadas), cuando la relación entre X e Y es monótona pero no lineal, o cuando hay valores atípicos muy pronunciados. Spearman transforma primero los valores en rangos, lo que lo hace robusto frente a extremos y patrones curvos pero consistentes.

Pearson es la opción óptima cuando ambas variables son continuas, aproximadamente normales y la relación subyacente es lineal. Regla práctica: si el diagrama de dispersión muestra una curva uniforme, o si uno o dos puntos desplazan notablemente el valor de r, prueba con Spearman.