Última actualización: 2026-07-01

Qué hace esta calculadora

Esta calculadora obtiene los valores propios y vectores propios de una matriz 2×2. Al introducir los cuatro elementos de A = [[a, b], [c, d]], devuelve la traza, el determinante, la ecuación característica, ambos valores propios —reales o complejos— y un vector propio por cada valor propio real, junto con el desarrollo paso a paso.

Un vector propio de A es un vector no nulo cuya dirección no cambia cuando la matriz actúa sobre él. El factor por el que se escala es el valor propio:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

La ecuación característica

Se reescribe $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ como $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Existe una solución no nula solo cuando la matriz $A - \lambda I$ es singular, es decir, cuando su determinante se anula:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Para una matriz 2×2 esto se desarrolla en una ecuación de segundo grado en $\lambda$:

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

donde la traza es $\operatorname{tr}A = a + d$ y el determinante es $\det A = ad - bc$. Estos dos invariantes determinan por sí solos ambos valores propios.

Despejar los valores propios

Aplicando la fórmula cuadrática a la ecuación característica:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

La cantidad bajo la raíz, $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$, es el discriminante. Su signo decide la naturaleza de los valores propios:

• $\Delta > 0$: dos valores propios reales distintos.
• $\Delta = 0$: un valor propio real doble.
• $\Delta < 0$: un par complejo conjugado $\alpha \pm \beta i$.

Ejemplo resuelto

Tomemos la matriz simétrica [[2, 1], [1, 2]].

Primero la traza y el determinante:

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

La ecuación característica y su discriminante:

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

Como $\Delta > 0$, los valores propios son reales:

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

Hallar los vectores propios

Para cada valor propio $\lambda$ se resuelve $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. En una matriz 2×2 las dos filas son proporcionales, así que una sola fila fija la dirección. Una elección fiable es $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ siempre que $b \neq 0$.

Para $\lambda_1 = 3$:

Para $\lambda_2 = 1$:

Cualquier múltiplo escalar no nulo de estos vectores también es un vector propio, ya que escalar un vector no cambia su dirección. Una comprobación rápida confirma $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ y $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$.

El caso complejo

Cuando $\Delta < 0$, la raíz es imaginaria y los valores propios forman un par complejo conjugado:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

Las matrices de rotación son el ejemplo clásico. La rotación de 90° [[0, −1], [1, 0]] tiene traza 0 y determinante 1, de modo que $\Delta = 0 - 4 = -4$ y los valores propios son $\pm i$. Una rotación no deja fija ninguna dirección real, y por eso no hay vectores propios reales: viven en el plano complejo.

Traza, determinante y los valores propios

Los dos invariantes se relacionan directamente con los valores propios, lo que ofrece una comprobación rápida:

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

En el ejemplo, $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$ y $3 \cdot 1 = 3 = \det A$. Si los valores propios no reproducen la traza y el determinante, se ha deslizado un error aritmético.

Dónde se usan los valores propios

• Diagonalización: una matriz con valores propios distintos puede escribirse como $A = PDP^{-1}$, donde $D$ contiene los valores propios, lo que facilita el cálculo de potencias $A^n$.
• Estabilidad: en el sistema $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, los signos de las partes reales de los valores propios determinan si las soluciones crecen o decaen.
• Direcciones principales: en las matrices simétricas los vectores propios son ortogonales y marcan los ejes de estiramiento, base del análisis de componentes principales y de la geometría de las formas cuadráticas.