Última actualización: 2026-07-13

Definición

La función φ de Euler $\varphi(n)$ cuenta cuántos enteros de $1$ a $n$ son coprimos con $n$, es decir, cuántos no comparten ningún factor con $n$ salvo $1$. Dos enteros son coprimos cuando su máximo común divisor es $1$.

Por ejemplo, $\varphi(9) = 6$: entre $1, 2, \dots, 9$, los valores $1, 2, 4, 5, 7, 8$ son coprimos con $9$, mientras que $3, 6, 9$ no lo son.

La función lleva el nombre de Leonhard Euler, quien la introdujo en 1763. También se escribe $\phi(n)$ y se conoce como función indicatriz o función phi.

La fórmula del producto

No hace falta probar todos los enteros hasta $n$. Una vez descompuesto $n$ en sus distintos factores primos, el totient sale de inmediato:

$\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$

El producto recorre los primos distintos que dividen a $n$: los exponentes no aparecen. Cada primo $p$ elimina la fracción $1/p$ de los números (los divisibles por $p$), y como los primos actúan de forma independiente, las fracciones se multiplican.

Ejemplo resuelto — n = 36. La factorización prima es $36 = 2^2 \cdot 3^2$, así que los primos distintos son $2$ y $3$:

$\varphi(36) = 36\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 36 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 12$

Los doce enteros coprimos con $36$ son $1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35$.

Primos y potencias de primos

Dos casos fundamentales hacen que la fórmula sea fácil de razonar:

• Primo $p$: todo entero de $1$ a $p - 1$ es coprimo con $p$, de modo que $\varphi(p) = p - 1$. Por ejemplo $\varphi(7) = 6$.
• Potencia de primo $p^k$: los únicos enteros no coprimos con $p^k$ son los múltiplos de $p$, que son $p^{k-1}$. Por tanto

$\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1)$

Así $\varphi(8) = \varphi(2^3) = 2^2(2 - 1) = 4$ y $\varphi(27) = \varphi(3^3) = 3^2(3 - 1) = 18$.

Multiplicatividad

El totient es multiplicativo: siempre que $m$ y $n$ sean coprimos,

$\varphi(mn) = \varphi(m)\,\varphi(n)$

Por eso funciona la fórmula del producto: se escribe $n$ como producto de potencias de primos, se aplica $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1)$ a cada una y se multiplica. Por ejemplo, $36 = 4 \cdot 9$ con $\gcd(4, 9) = 1$, así que $\varphi(36) = \varphi(4)\,\varphi(9) = 2 \cdot 6 = 12$.

Atención a la condición de coprimalidad: $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ puede fallar cuando $m$ y $n$ comparten un factor. Por ejemplo $\varphi(2 \cdot 2) = \varphi(4) = 2$, no $\varphi(2)\varphi(2) = 1$.

El teorema de Euler

El totient gobierna la exponenciación modular. El teorema de Euler afirma que si $\gcd(a, n) = 1$, entonces

$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$

Esto generaliza el pequeño teorema de Fermat ($a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ para un primo $p$), que es simplemente el caso particular $n = p$, donde $\varphi(p) = p - 1$.

Ejemplo. Toma $a = 3$, $n = 10$. Aquí $\varphi(10) = 4$, así que $3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10}$, y en efecto $81$ termina en $1$. El teorema permite reducir exponentes enormes módulo $\varphi(n)$ antes de calcular.

Aplicación en RSA

La criptografía de clave pública RSA se construye directamente sobre el totient. Un módulo se forma a partir de dos primos grandes, $n = p \cdot q$, con lo que

$\varphi(n) = (p - 1)(q - 1)$

El exponente público $e$ y el privado $d$ se eligen de modo que $e \cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}$. El teorema de Euler garantiza entonces que descifrar invierte cifrar: $(m^e)^d \equiv m \pmod n$.

La seguridad reside en una brecha: cualquiera puede publicar $n$, pero calcular $\varphi(n) = (p-1)(q-1)$ exige conocer $p$ y $q$. Recuperarlos solo a partir de $n$ es factorizar un semiprimo grande, algo que se considera computacionalmente inviable para primos suficientemente grandes. De hecho, conocer $\varphi(n)$ equivale a factorizar $n$.

Ejemplos resueltos

$n$	Factorización	Forma de producto	$\varphi(n)$
$10$	$2 \cdot 5$	$10\,(1 - \tfrac12)(1 - \tfrac15)$	$4$
$12$	$2^2 \cdot 3$	$12\,(1 - \tfrac12)(1 - \tfrac13)$	$4$
$36$	$2^2 \cdot 3^2$	$36\,(1 - \tfrac12)(1 - \tfrac13)$	$12$
$100$	$2^2 \cdot 5^2$	$100\,(1 - \tfrac12)(1 - \tfrac15)$	$40$
$101$	$101$ (primo)	$101\,(1 - \tfrac{1}{101})$	$100$

Casos especiales

• $n = 1$: por convención $\varphi(1) = 1$. El único entero del rango, $1$, es coprimo consigo mismo.
• $n$ primo: $\varphi(n) = n - 1$, el máximo posible para ese tamaño; los primos tienen la mayor cantidad de restos coprimos.
• $n$ par: el factor $(1 - \tfrac12)$ elimina al menos la mitad de los enteros, así que $\varphi(n) \le n/2$.
• Suma sobre divisores: los totients de todos los divisores de $n$ suman $n$: $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$. Para $n = 12$: $\varphi(1) + \varphi(2) + \varphi(3) + \varphi(4) + \varphi(6) + \varphi(12) = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12$.

Referencia rápida

Concepto	Fórmula
Definición	$\varphi(n) = \#\{\, k : 1 \le k \le n,\ \gcd(k, n) = 1 \,\}$
Fórmula del producto	$\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} (1 - 1/p)$
Primo	$\varphi(p) = p - 1$
Potencia de primo	$\varphi(p^k) = p^{k-1}(p - 1)$
Multiplicativa	$\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ si $\gcd(m, n) = 1$
Teorema de Euler	$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$ si $\gcd(a, n) = 1$
Suma de divisores	$\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la función φ de Euler?

La función φ de Euler φ(n) cuenta los enteros positivos hasta n que son coprimos con n, es decir, los que no comparten ningún factor con n salvo 1. Por ejemplo, φ(9) = 6, porque 1, 2, 4, 5, 7 y 8 son coprimos con 9, mientras que 3, 6 y 9 no lo son. Por convención, φ(1) = 1.

¿Cómo se calcula φ(n)?

Factoriza n en sus primos distintos p₁, p₂, …, pₖ y aplica φ(n) = n · ∏(1 − 1/p) sobre esos primos. Para n = 36 = 2² · 3², φ(36) = 36 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) = 36 · 1/2 · 2/3 = 12. Solo cuentan los primos distintos, no sus exponentes.

¿Cuál es la función φ de un número primo?

Para un primo p, todo entero de 1 a p − 1 es coprimo con p, así que φ(p) = p − 1. Para una potencia de primo pᵏ la fórmula da φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹ = pᵏ⁻¹(p − 1). Por ejemplo, φ(7) = 6 y φ(8) = φ(2³) = 8 − 4 = 4.

¿Por qué importa la función φ en RSA y el teorema de Euler?

El teorema de Euler afirma que si mcd(a, n) = 1, entonces a^φ(n) ≡ 1 (mod n), una generalización del pequeño teorema de Fermat. RSA se apoya en esto: para un módulo n = p·q de dos primos, φ(n) = (p − 1)(q − 1), y los exponentes público y privado se eligen de modo que e·d ≡ 1 (mod φ(n)). Conocer φ(n) equivale a factorizar n, y eso es lo que mantiene seguro a RSA.