Última actualización: 2026-07-02

La ecuación de una hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos —los focos— difieren en una cantidad constante. Una hipérbola horizontal con centro $(h, k)$ tiene la forma canónica:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

El signo menos es lo que separa una hipérbola de una elipse. Produce dos ramas separadas que se abren a izquierda y derecha, cada una dirigiéndose hacia un par de rectas llamadas asíntotas. Esta calculadora toma el semieje transverso $a$, el semieje conjugado $b$ y el centro $(h, k)$, y devuelve la distancia focal, los vértices, los focos, la excentricidad y las pendientes de las asíntotas.

Vértices, focos y distancia focal

Los vértices son los dos puntos donde las ramas están más próximas. Se sitúan sobre el eje transverso a una distancia $a$ del centro:

$V = (h \pm a,\ k)$

Los focos quedan más lejos, a una distancia $c$ del centro, donde

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

Observa que siempre $c > a$, porque $b^2 > 0$. Es lo contrario de la relación de la elipse $c = \sqrt{a^2 - b^2}$: en una hipérbola los focos quedan más allá de los vértices, no dentro de ellos.

Asíntotas y excentricidad

Lejos del centro, cada rama se ciñe a una de dos rectas que pasan por el centro con pendientes $\pm b/a$:

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Una forma rápida de dibujarlas a mano es trazar el rectángulo central de ancho $2a$ y alto $2b$ centrado en $(h, k)$; las asíntotas son sus diagonales prolongadas.

La excentricidad mide cuánto se abren las ramas:

$e = \frac{c}{a}$

Como $c > a$, una hipérbola siempre tiene $e > 1$. (Una elipse tiene $0 \le e < 1$, y una parábola está justo en $e = 1$.)

Ejemplo resuelto

Problema: Describe la hipérbola $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Paso 1 — leer los semiejes: $a^2 = 9$ y $b^2 = 16$, así que $a = 3$ y $b = 4$. El centro es $(0, 0)$.

Paso 2 — vértices: en $(\pm a, 0) = (3, 0)$ y $(-3, 0)$.

Paso 3 — distancia focal:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

por lo que los focos son $(5, 0)$ y $(-5, 0)$.

Paso 4 — excentricidad:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Paso 5 — asíntotas: pendiente $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$, es decir $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

Así, esta hipérbola tiene vértices $(\pm 3, 0)$, focos $(\pm 5, 0)$, excentricidad $5/3$ y asíntotas $y = \pm\tfrac{4}{3}x$.

El semilado recto

Un buen punto de control es la altura de la rama justo encima de un foco. Sustituyendo $x = c$ en la ecuación se obtiene $y = \pm b^2/a$, cantidad llamada semilado recto. En el ejemplo anterior vale $16/3 \approx 5{,}33$: la gráfica pasa por $(5, \pm 16/3)$, por eso la rama ya es bastante alta al llegar al foco.

En qué se diferencian el eje transverso y el conjugado

El eje transverso une los dos vértices y pasa por los focos; su semilongitud es $a$. El eje conjugado es perpendicular a él por el centro; su semilongitud es $b$. A diferencia de una elipse, no hace falta que $a > b$: las ramas cruzan el eje transverso sea cual sea el mayor de $a$ o $b$. Cuando $a = b$ las asíntotas son las rectas perpendiculares $y = \pm(x - h) + k$ y la hipérbola se llama equilátera (o rectangular), con excentricidad exactamente $\sqrt{2}$.