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Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Calculadora de determinante de una matriz (2×2 y 3×3)

Fórmula

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

Datos de entrada

Tamaño de la matriz3×3
Fila 1, columna 11
Fila 1, columna 22
Fila 1, columna 33
Fila 2, columna 10
Fila 2, columna 21
Fila 2, columna 34
Fila 3, columna 15
Fila 3, columna 26
Fila 3, columna 30

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/matrix-determinant

Matemáticas

Calculadora de determinante de una matriz (2×2 y 3×3)

Calcula el determinante de una matriz 2×2 o 3×3. Introduce las entradas para obtener el resultado con el desarrollo paso a paso mediante ad − bc o la expansión por cofactores de la primera fila.

Tamaño de la matriz

Datos de entrada

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

Resultados

Introduce un valor para ver los resultados.

Determinante

\begin{aligned} \det A &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \\ &= \left(1\right)\left({\text{?}}\right) - \left(2\right)\left({\text{?}}\right) + \left(3\right)\left({\text{?}}\right) \\ &= ? \end{aligned}

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Qué hace esta calculadora

Esta calculadora halla el determinante de una matriz cuadrada: un único número que recoge cómo la matriz estira, comprime o invierte el espacio. Elige el modo 2×2 o 3×3, introduce las entradas y el determinante se actualiza junto con un desarrollo paso a paso.

El determinante de una matriz A se escribe det⁡A\det A o ∣A∣|A|.

El determinante 2×2

Para una matriz 2×2, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria:

det⁡(abcd)=ad−bc\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Ejemplo resuelto (2×2)

Tomemos la matriz [[1, 2], [3, 4]]:

det⁡A=(1)(4)−(2)(3)=4−6=−2\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2

El signo negativo indica que esta transformación invierte la orientación, y la magnitud 2 indica que duplica el área.

El determinante 3×3 por expansión de cofactores

Para una matriz 3×3, se desarrolla a lo largo de la primera fila. Cada entrada de la primera fila se multiplica por el determinante del menor 2×2 que queda al eliminar su fila y su columna, con signos alternos + − +:

det⁡(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=a11M11−a12M12+a13M13\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}

donde los menores son

M11=∣a22a23a32a33∣,M12=∣a21a23a31a33∣,M13=∣a21a22a31a32∣.M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.

Ejemplo resuelto (3×3)

Tomemos la matriz [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]]:

M11=(−2)(7)−(5)(8)=−14−40=−54M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54

M12=(4)(7)−(5)(2)=28−10=18M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18

M13=(4)(8)−(−2)(2)=32+4=36M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36

Ahora se combina con las entradas de la primera fila y los signos alternos:

det⁡A=(6)(−54)−(1)(18)+(1)(36)=−324−18+36=−306\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306

La regla de Sarrus (atajo para 3×3)

Una alternativa solo para matrices 3×3 es la regla de Sarrus: copia las dos primeras columnas a la derecha de la matriz, suma los tres productos diagonales de izquierda a derecha y resta los tres de derecha a izquierda:

det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Da el mismo resultado que la expansión de cofactores. Sarrus es rápida de aplicar a mano, pero no se generaliza más allá de 3×3, por lo que la expansión de cofactores es el método que se enseña primero.

Cuando el determinante es cero

Un determinante de cero indica una matriz singular:

  • Sus filas (y columnas) son linealmente dependientes.
  • La transformación colapsa el espacio sobre una recta o un plano, perdiendo una dimensión.
  • La matriz no tiene inversa.
  • Un sistema lineal Ax = b con A singular no tiene solución o tiene infinitas.

Por ejemplo, [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] tiene determinante 0 porque cada fila es un paso aritmético respecto a la anterior, lo que hace que las filas sean linealmente dependientes.

Significado geométrico

El determinante mide un escalado con signo:

  • 2×2: el determinante es igual al área con signo del paralelogramo generado por sus vectores columna. Un determinante de 5 significa que las áreas se escalan por 5; uno de −5 significa que se escalan por 5 y se invierte la orientación.
  • 3×3: el determinante es igual al volumen con signo del paralelepípedo generado por sus tres columnas.
  • Una magnitud de 1 significa que el área o el volumen se conservan (una rotación o reflexión); una magnitud de 0 significa que la figura se aplana a área o volumen cero.

Propiedades útiles

  • det⁡(AB)=det⁡(A) det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\,\det(B): el determinante de un producto es el producto de los determinantes.
  • det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A): trasponer no cambia el determinante.
  • Intercambiar dos filas invierte el signo del determinante.
  • Multiplicar una fila por un escalar kk multiplica el determinante por kk.
  • El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el determinante de una matriz?

El determinante es un único número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y resume propiedades clave de la transformación lineal que representa. Su valor absoluto indica cuánto escala la transformación el área (2×2) o el volumen (3×3), y su signo indica si la orientación se conserva o se invierte. Un determinante igual a cero significa que la matriz es singular y no tiene inversa.

¿Qué significa un determinante igual a cero?

Un determinante de cero significa que la matriz es singular: sus filas (o columnas) son linealmente dependientes, por lo que la transformación colapsa el espacio en una dimensión menor. Una matriz singular no tiene inversa, y un sistema lineal con matriz de coeficientes singular no tiene solución o tiene infinitas.

¿Cuál es la diferencia entre la expansión por cofactores y la regla de Sarrus?

Ambas dan el mismo determinante 3×3. La expansión por cofactores multiplica cada entrada de la primera fila por el determinante de su menor 2×2 con signos alternos, y se generaliza a cualquier tamaño.

La regla de Sarrus es un atajo que suma los tres productos diagonales de izquierda a derecha y resta los tres de derecha a izquierda; solo funciona para matrices 3×3. Esta calculadora muestra el método de cofactores porque se extiende a matrices mayores.

¿Qué significa el determinante geométricamente?

En una matriz 2×2, el determinante es igual al área con signo del paralelogramo generado por sus vectores columna. En una matriz 3×3, es igual al volumen con signo del paralelepípedo generado por sus tres columnas. Un signo negativo indica que la transformación invierte la orientación (una reflexión), y un valor absoluto de uno significa que el área o el volumen se conservan.

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