Skip to content
Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Calculadora de distribución binomial negativa

Datos de entrada

Número de éxitos3
Probabilidad de éxito0,4
Número de fracasos4

Visualización

Valor de la PMF 0

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/negative-binomial-distribution

Matemáticas

Calculadora de distribución binomial negativa

Calcula la probabilidad de exactamente k fracasos antes del r-ésimo éxito, además de la probabilidad acumulada, la media y la varianza de una distribución binomial negativa.

Datos de entrada

Parámetros

≥ 1
0 – 1

Resultados

Introduce un valor para ver los resultados.

Detalles

Probabilidades

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k \\ &= \binom{ 4+3-1 }{ 4 } \, 0,4^{ 3 } (1-0,4)^{ 4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \leq k) &= \sum_{i=0}^{k} \binom{i+r-1}{i} \, p^r (1-p)^i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{r(1-p)}{p} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{r(1-p)}{p^2} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Distribución

Valor de la PMF 0

Insertar esta calculadora

Vista previa

Pega este código en tu página para mostrar la calculadora.

Compartir este cálculo

Quien abra este enlace verá tus valores ya rellenados.

Distribución binomial negativa

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de fracasos que ocurren antes de alcanzar un número fijo de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. Cada ensayo comparte la misma probabilidad de éxito p y es independiente de los demás. Aparece en pruebas de fiabilidad, análisis de ventas y marketing, epidemiología y en cualquier proceso que continúa hasta acumular un número objetivo de éxitos.

Fórmula

Esta calculadora usa la convención de fracasos antes del éxito: X es el número de fracasos k observados antes del r-ésimo éxito, por lo que X ≥ 0. La función de masa de probabilidad (PMF) y la función de distribución acumulada (CDF) son:

P(X=k)=(k+r−1k) pr(1−p)k,k=0,1,2,…P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \, p^{r} (1-p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots P(X≤k)=∑i=0k(i+r−1i) pr(1−p)iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{i + r - 1}{i} \, p^{r} (1-p)^{i}

La media y la varianza de X bajo esta convención son:

μ=r(1−p)p,σ2=r(1−p)p2\mu = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}

Una segunda convención define X como el número total de ensayos necesarios para obtener r éxitos (X ≥ r). Esa variable equivale a k + r, y su media es r/p. Ambas convenciones describen el mismo experimento.

Ejemplo resuelto

Un inspector de calidad acepta un lote una vez que tres unidades han pasado la inspección. Cada unidad pasa de forma independiente con probabilidad p = 0,40. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro unidades fallen antes de que la tercera unidad pase?

Usando r = 3, p = 0,40 y k = 4:

P(X=4)=(4+3−14)×0,403×0,604=15×0,064×0,1296=0,1244P(X = 4) = \binom{4 + 3 - 1}{4} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{4} = 15 \times 0{,}064 \times 0{,}1296 = 0{,}1244

Hay una probabilidad del 12,44 % de que exactamente cuatro unidades fallen antes del tercer paso. La probabilidad acumulada de cuatro fallos o menos es:

P(X≤4)=∑i=04(i+2i)×0,403×0,60i=0,5801P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{i+2}{i} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{i} = 0{,}5801

Por tanto, hay un 58,01 % de probabilidad de que no fallen más de cuatro unidades. El número esperado de fallos es μ = 3 × 0,60 / 0,40 = 4,5, con varianza σ² = 3 × 0,60 / 0,40² = 11,25 y desviación estándar σ ≈ 3,35.

Derivación de la fórmula

Para que exactamente k fracasos precedan al r-ésimo éxito:

  1. El último ensayo debe ser el r-ésimo éxito, que ocurre con probabilidad p.
  2. Entre los k + r − 1 ensayos anteriores, exactamente k son fracasos y r − 1 son éxitos. El número de ordenaciones es C(k+r−1, k).
  3. Cada uno de esos k fracasos ocurre con probabilidad 1−p y cada uno de los r − 1 éxitos con probabilidad p. Junto con el éxito final, los resultados de los ensayos aportan pʳ · (1−p)ᵏ.

Multiplicar el recuento de ordenaciones por la probabilidad de los resultados da C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. La CDF es la suma acumulada de la PMF desde 0 hasta k.

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial negativa generaliza la distribución geométrica: fijando r = 1 se cuentan los fracasos antes del primer éxito, y P(X = k) = (1−p)ᵏ · p. De forma equivalente, una variable binomial negativa es la suma de r variables geométricas independientes con la misma probabilidad de éxito p.

Es el complemento de la distribución binomial. La binomial fija el número de ensayos y trata los éxitos como aleatorios; la binomial negativa fija el número de éxitos y trata el número de fracasos (o ensayos) como aleatorio. Cuando el número de éxitos r es grande y p está cerca de 1, la distribución se aproxima a la normal. Cuando r no tiene por qué ser entero, la misma fórmula con la función gamma define la estrechamente relacionada distribución de Polya, muy usada para modelar datos de recuento con sobredispersión.

Aplicaciones prácticas

  • Control de calidad: modelar cuántas unidades defectuosas se inspeccionan antes de encontrar un número fijo de unidades aceptables.
  • Ventas y marketing: estimar el número de contactos sin éxito antes de alcanzar un número determinado de conversiones.
  • Epidemiología y ecología: ajustar datos de recuento con sobredispersión, donde la varianza supera la media, mejor que un modelo de Poisson.
  • Ingeniería de fiabilidad: calcular el número esperado de componentes averiados antes de que un sistema redundante acumule suficientes piezas en funcionamiento.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la distribución binomial negativa?

La distribución binomial negativa modela el número de fracasos que ocurren antes de alcanzar un número fijo de éxitos r en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Por ejemplo, con r = 3 y p = 0,4, la distribución describe cuántos intentos fallidos ocurren antes del tercer éxito.

A diferencia de la distribución binomial, que fija el número de ensayos y cuenta los éxitos, la binomial negativa fija el número de éxitos y cuenta los ensayos (o fracasos) necesarios para alcanzarlo.

¿Qué convención usa esta calculadora?

Esta calculadora cuenta el número de fracasos k antes del r-ésimo éxito, de modo que k ≥ 0 y P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. La media es r(1−p)/p y la varianza es r(1−p)/p². Una alternativa habitual define X como el número total de ensayos necesarios para obtener r éxitos; esa variable equivale a k + r, desplaza el soporte a X ≥ r y la media a r/p. Ambas convenciones describen el mismo experimento y solo difieren en la constante r.

¿En qué se diferencia de la distribución binomial?

La distribución binomial fija el número de ensayos n y trata el número de éxitos como aleatorio. La binomial negativa hace lo contrario: fija el número de éxitos r y trata el número de fracasos (o ensayos) como aleatorio. En la binomial, la regla de parada es «parar tras n ensayos»; en la binomial negativa es «parar tras r éxitos». Ambas comparten la misma probabilidad de éxito p por ensayo y los mismos supuestos de independencia.

¿Cómo se relaciona con la distribución geométrica?

La distribución geométrica es el caso particular de la binomial negativa con r = 1: el número de fracasos antes del primer éxito. Sustituyendo r = 1 en P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ se obtiene P(X = k) = (1−p)ᵏ · p, la PMF geométrica. De forma equivalente, una variable binomial negativa es la suma de r variables geométricas independientes con la misma p.

Recomendaciones

Distribución Geométrica

Calcula la probabilidad exacta P(X = k) y la acumulada P(X ≤ k) de la distribución geométrica, con la media y varianza, dada la probabilidad de éxito p.

 Saber más
Calculadora de Probabilidad Binomial

Calcule P(X=k), P(X≤k) y P(X≥k) para una distribución binomial. Introduzca el número de ensayos, de éxitos y la probabilidad de éxito por ensayo.

 Saber más
Calculadora de combinaciones — C(n, r)

Calcula combinaciones C(n, r): el número de formas de elegir r elementos de n sin importar el orden. Hasta n = 20.

 Saber más

200+ calculadoras · 10 idiomas · 100 % gratis

¿Te ha resultado útil esta calculadora?

No

¿Cómo podríamos mejorar esta calculadora?
Con tecnología de OneCalc ↗