Última actualización: 2026-07-02

Descomposición en fracciones parciales

La descomposición en fracciones parciales reescribe una función racional como una suma de fracciones más simples cuyos denominadores son los factores del denominador original. Para una fracción propia —cuyo numerador tiene menor grado que el denominador— con dos factores lineales distintos, la descomposición toma la forma

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

Escrita así, la fracción es mucho más fácil de integrar, de transformar por Laplace inversa o de desarrollar en serie.

El método de tapado

La forma más rápida de hallar $A$ y $B$ es el método de tapado (o de Heaviside).

Paso 1 — Hallar A. Tapa el factor $(x - r_1)$ del denominador y evalúa lo que queda en $x = r_1$:

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

Paso 2 — Hallar B. Tapa el factor $(x - r_2)$ y evalúa el resto en $x = r_2$:

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

Por qué funciona el tapado

Multiplica ambos lados de la descomposición por $(x - r_1)$:

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

Ahora haz $x = r_1$. El segundo término contiene el factor $(x - r_1)$, así que se anula, dejando directamente $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$. El mismo argumento con $(x - r_2)$ aísla $B$.

Ejemplo resuelto

Descompón $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Aquí $p = 3$, $q = -1$, $r_1 = 1$, $r_2 = -2$.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

Entonces

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

Comprobación: al reunir sobre el denominador común,

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

Un atajo útil

Para el numerador $p\,x + q$, los dos coeficientes cumplen siempre $A + B = p$. Igualar el término principal del numerador recombinado obliga a que la suma de $A$ y $B$ sea el coeficiente de $x$ del numerador, lo que sirve de comprobación rápida.

Se requieren raíces distintas

La forma $A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ supone dos factores lineales diferentes.

Denominador	Forma correcta
$(x - r_1)(x - r_2)$, distintos	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$, repetido	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

La fórmula del método de tapado divide entre $r_1 - r_2$, que es cero cuando las raíces coinciden, de modo que un factor repetido necesita la segunda forma y queda fuera del alcance de esta calculadora.

Uso en la integración

El mayor provecho está en el cálculo. Una función racional es incómoda de integrar directamente, pero cada fracción parcial se integra de inmediato:

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

Así, una vez descompuesta,

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

Aplicaciones

• Integración de funciones racionales en cálculo.
• Transformadas de Laplace inversas en ecuaciones diferenciales y teoría de control.
• Desarrollos en serie y funciones generatrices en combinatoria.
• Procesamiento de señales, donde las funciones de transferencia se separan en términos de primer orden.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la descomposición en fracciones parciales?

La descomposición en fracciones parciales reescribe una función racional como una suma de fracciones más simples cuyos denominadores son los factores del denominador original. Para una fracción propia (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) con dos factores lineales distintos, la descomposición es A/(x − r₁) + B/(x − r₂). Escrita así, la fracción es mucho más fácil de integrar, de transformar por Laplace inversa o de desarrollar en serie.

¿Cómo halla A y B el método de tapado?

Para hallar A, tapa el factor (x − r₁) del denominador y evalúa lo que queda en x = r₁. Como el segundo término A·(x − r₁)/(x − r₁) solo sobrevive cuando se tapa su propio factor, todo lo demás se anula en ese valor. El resultado es A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂). Por simetría, B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁). El método evita plantear y resolver un sistema lineal.

¿Por qué las dos raíces deben ser distintas?

La forma A/(x − r₁) + B/(x − r₂) supone dos factores lineales diferentes. Si r₁ = r₂, el denominador es un factor repetido (x − r₁)², y la descomposición correcta usa la forma A/(x − r₁) + B/(x − r₁)². La fórmula del método de tapado divide entre (r₁ − r₂), que es cero cuando las raíces coinciden, por lo que esta calculadora requiere raíces distintas.

¿Cómo se usa en la integración?

Una función racional es difícil de integrar directamente, pero cada fracción parcial A/(x − r) se integra de inmediato como A·ln|x − r| + C. Así, una vez descompuesta (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) en A/(x − r₁) + B/(x − r₂), la integral es A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C. Este es el primer paso habitual para integrar funciones racionales en cálculo.