Triángulo de Pascal

Número de filas N	8
Columna k	3

Número de filas N

Columna k

Última actualización: 2026-07-02

Definición

El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números en el que cada elemento es un coeficiente binomial. La cima es un solo $1$ (fila $0$ ) y cada fila siguiente empieza y termina con $1$ . La fila $n$ contiene los coeficientes:

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

Estos son exactamente los números que aparecen al desarrollar $(a + b)^n$ , por lo que el triángulo se sitúa en el punto de encuentro entre la combinatoria y el álgebra.

Construcción

Cada elemento interior es la suma de los dos elementos situados justo encima. Esta es la regla de Pascal:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Como las dos diagonales exteriores son siempre $1$ (hay exactamente una forma de elegir ninguno o todos los elementos, así que $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ), todo el triángulo puede construirse solo con sumas, partiendo de la cima:

Ejemplo resuelto

Construye $6$ filas y lee el elemento de la columna $k = 2$ en la última fila. Con $N = 6$ , la última fila tiene índice de fila $N - 1 = 5$ :

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

El elemento en $k = 2$ es el coeficiente binomial $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

El mismo valor se obtiene con la regla de Pascal usando la fila anterior ( $1, 4, 6, 4, 1$ ):

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

Sumas de filas

Los elementos de la fila $n$ siempre suman una potencia de dos:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

Esto se deduce directamente del teorema del binomio con $a = b = 1$ : $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ . Para la fila anterior, $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ , una forma rápida de comprobar que una fila se ha copiado bien.

Patrones

En el triángulo se esconden varias sucesiones conocidas. La diagonal más externa son todos unos; la siguiente cuenta los números naturales $1, 2, 3, 4, \ldots$ ; la tercera da los números triangulares $1, 3, 6, 10, \ldots$ . Al sumar a lo largo de las diagonales poco inclinadas aparece la sucesión de Fibonacci. Además, cada fila es simétrica:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

por lo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda: elegir qué $k$ elementos incluir es lo mismo que elegir cuáles $n - k$ dejar fuera.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números en el que cada elemento es un coeficiente binomial. La cima es un solo 1 (fila 0) y cada fila siguiente empieza y termina con 1. La fila n es C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n): los coeficientes que aparecen al desarrollar (a + b)ⁿ. Por ejemplo, la fila 4 es 1, 4, 6, 4, 1, que corresponde a (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

¿Cómo se construye cada elemento?

Cada elemento interior es la suma de los dos elementos situados justo encima. Esta es la regla de Pascal: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Partiendo del 1 de la cima, puedes construir todo el triángulo solo con sumas, sin calcular ningún factorial. Los bordes son siempre 1 porque C(n, 0) = C(n, n) = 1.

¿Por qué cada fila suma una potencia de 2?

Los elementos de la fila n suman 2ⁿ. Esto se deduce del teorema del binomio con a = b = 1: (1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ. Así, la fila 0 suma 1, la fila 1 suma 2, la fila 2 suma 4 y la fila 10 suma 1024. Es una forma rápida de comprobar que una fila se ha escrito correctamente.

¿Qué patrones se esconden en el triángulo de Pascal?

Varios. La diagonal más externa son todos unos; la siguiente cuenta 1, 2, 3, 4, … (los números naturales); la tercera da los números triangulares 1, 3, 6, 10, …. Al sumar a lo largo de las diagonales poco inclinadas aparece la sucesión de Fibonacci. Además, cada fila es simétrica porque C(n, k) = C(n, n − k), de modo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Triángulo de Pascal

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