Error estándar de la media
Datos de entrada
| Desviación estándar muestral | 12 |
|---|---|
| Tamaño de la muestra | 36 |
| Nivel de confianza | 95% |
| Media muestral | 100 |
Error estándar de la media
Calcula el error estándar de la media (EEM) a partir de la desviación estándar y el tamaño muestral con EEM = s/√n, y construye el intervalo de confianza x̄ ± z·EEM. Introduce la desviación estándar, el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y la media muestral.
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Qué hace esta calculadora
Esta calculadora obtiene el error estándar de la media (EEM) a partir de la desviación estándar y el tamaño de una muestra, y construye el intervalo de confianza alrededor de la media muestral. Introduce la desviación estándar, el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y la media muestral observada.
Qué es el error estándar de la media
Cuando estimas un promedio a partir de una muestra, esa estimación nunca es exacta: otra muestra aleatoria daría una media ligeramente distinta. El error estándar de la media cuantifica esa incertidumbre: es la desviación estándar de la distribución muestral de la media, es decir, cuánto se espera que varíe la media muestral de una muestra a otra.
Un error estándar pequeño indica que tu media muestral fija la media poblacional con precisión; uno grande indica que la estimación es imprecisa. Es el ingrediente clave de los intervalos de confianza y de las pruebas de hipótesis sobre una media.
La fórmula
EEM=ns- EEM — el error estándar de la media
- s — la desviación estándar muestral
- n — el tamaño de la muestra
La desviación estándar mide la dispersión de los datos brutos; dividir entre la convierte en la dispersión del promedio. Promediar muchas observaciones cancela el ruido individual, de modo que la media es más estable que cualquier dato aislado, y cuanto más promedias, más estable se vuelve.
Intervalo de confianza
Una vez que tienes el error estándar, un intervalo de confianza para la media poblacional es la media muestral más o menos un valor crítico multiplicado por el error estándar:
xˉ±z⋅EEMEl valor crítico proviene de la distribución normal estándar y lo fija el nivel de confianza (1,645 para 90 %, 1,96 para 95 %, 2,576 para 99 %). Con 95 % de confianza esto significa que, si el estudio se repitiera muchas veces, alrededor del 95 % de los intervalos construidos así contendrían la verdadera media poblacional.
Error estándar frente a desviación estándar
Ambos miden la "dispersión", por eso se confunden con facilidad, pero describen cosas distintas:
| Cantidad | Describe la dispersión de… | Comportamiento al crecer n |
|---|---|---|
| Desviación estándar (s) | las observaciones individuales | se mantiene casi constante |
| Error estándar (EEM) | la media muestral entre muestras | tiende a cero (∝ 1/√n) |
Recopilar más datos no hace que los valores individuales sean menos variables, así que la desviación estándar es estable. Pero sí hace que el promedio sea más fiable, por lo que el error estándar sigue bajando.
Por qué el error estándar disminuye con √n
Como el tamaño muestral entra bajo una raíz cuadrada, el error estándar cae en proporción a en lugar de en proporción inversa a . Esto produce rendimientos decrecientes:
| Tamaño muestral n | Error estándar relativo |
|---|---|
| 100 | 1,00 |
| 400 | 0,50 |
| 1600 | 0,25 |
| 6400 | 0,125 |
Para reducir a la mitad el error estándar hay que cuadruplicar la muestra. Cada unidad adicional de precisión resulta progresivamente más costosa.
Ejemplo resuelto
Supón que una muestra de tamaño 36 tiene una desviación estándar de 12 y una media de 100, y se busca un intervalo de confianza al 95 %. El valor crítico es 1,96:
EEMxˉ±z⋅EEM=ns=3612=612=2=100±1,96×2=100±3,92=(96,08, 103,92)El error estándar de la media es 2, y el intervalo de confianza al 95 % va de 96,08 a 103,92. Con base en esta muestra, la media poblacional puede estar plausiblemente en cualquier punto de ese rango.
Cuando la desviación estándar se estima con una muestra pequeña
El intervalo anterior usa el valor normal , apropiado cuando se conoce la desviación estándar poblacional o la muestra es lo bastante grande como para que sea un sustituto fiable. Una regla práctica habitual es .
Cuando se estima con una muestra pequeña, reemplaza por un valor de la distribución t, que tiene colas más pesadas para tener en cuenta la incertidumbre adicional:
xˉ±tn−1⋅nsEl valor t depende de los grados de libertad, uno menos que el tamaño muestral, y siempre es algo mayor que el valor z correspondiente, por lo que ensancha el intervalo. A medida que n crece, el valor t converge de nuevo a z.
Calculadoras relacionadas
La Calculadora de Intervalo de Confianza construye el intervalo completo alrededor de tu estimación para medias y proporciones, y el Margen de error ofrece directamente la semiamplitud . Para hallar primero la desviación estándar a partir de datos brutos, usa la Calculadora de Varianza y Desviación Estándar.
Preguntas frecuentes (FAQ)
¿Qué es el error estándar de la media?
El error estándar de la media (EEM) mide con qué precisión una media muestral estima la verdadera media poblacional. Es la desviación estándar de la distribución muestral de la media, es decir, cuánto variaría la media muestral si extrajeras repetidamente nuevas muestras del mismo tamaño de la población.
Un error estándar pequeño indica que la media muestral es una estimación precisa; uno grande indica que podría desviarse más. Se calcula como la desviación estándar muestral dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
¿En qué se diferencia el error estándar de la desviación estándar?
La desviación estándar (s) describe la dispersión de las observaciones individuales dentro de una sola muestra: qué tan lejos cae un dato típico de la media. El error estándar (EEM) describe la dispersión de la media muestral a lo largo de muestras repetidas hipotéticas: qué tan lejos cae una media muestral típica de la verdadera media poblacional.
Como EEM = s/√n, el error estándar siempre es menor que la desviación estándar (para n > 1) y disminuye al crecer la muestra, mientras que la desviación estándar se mantiene aproximadamente constante sin importar cuántas observaciones recojas.
¿Cómo afecta el tamaño de la muestra al error estándar?
El error estándar disminuye en proporción a 1/√n, no a 1/n. Como el tamaño muestral está bajo una raíz cuadrada, reducir el error estándar a la mitad exige cuadruplicar la muestra. Pasar de 100 a 400 observaciones reduce el error estándar a la mitad; pasar de 400 a 1600 lo vuelve a reducir a la mitad. Esta ley de la raíz cuadrada explica por qué cada unidad adicional de precisión resulta progresivamente más costosa.
¿Cuándo debo usar z en lugar de t para el intervalo?
Esta calculadora usa el valor z de la normal estándar (1,645, 1,96, 2,576 para 90 %, 95 %, 99 %), lo cual es apropiado cuando se conoce la desviación estándar poblacional o la muestra es grande; una regla práctica habitual es n ≥ 30.
Cuando la desviación estándar se estima a partir de una muestra pequeña, usa en su lugar la distribución t. Tiene colas más pesadas y un valor crítico que depende de los grados de libertad (n − 1), lo que da un intervalo algo más amplio. A medida que crece n, el valor t converge al valor z.
Recomendaciones
Calculadora de Intervalo de Confianza
Calcula el intervalo de confianza, el margen de error y el valor Z crítico para una media muestral, con niveles de confianza del 90 %, 95 % y 99 %.
Margen de error
Calcula el margen de error de una media poblacional con E = z·σ/√n y el intervalo de confianza resultante x̄ ± E. Introduce el nivel de confianza, la desviación típica, el tamaño de la muestra y la media muestral.