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Generado el: 20 de julio de 2026 a las 21:34

Calculadora de proyección de vectores

Datos de entrada

a — componente x3
a — componente y4
a — componente z0
b — componente x1
b — componente y0
b — componente z0

Generado con OneCalc · https://onecalc.app/es/math/vector-projection

Matemáticas

Calculadora de proyección de vectores

Proyecta el vector a sobre el vector b: proyección escalar, componentes de la proyección vectorial y la componente perpendicular (rechazo). Funciona en 2D (dejar z = 0) y 3D, con desarrollo paso a paso.

Datos de entrada

Vector a (proyectado)

Vector b (dirección)

Resultados

Introduce un valor para ver los resultados.

Detalles

Desarrollo paso a paso

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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Proyección de vectores

Proyectar un vector a sobre un vector b responde a una pregunta sencilla: ¿cuánto de a apunta en la dirección de b? La respuesta viene en dos formas: un único número (la proyección escalar) y un vector completo (la proyección vectorial). Junto con el rechazo, descomponen a en una parte a lo largo de b y otra perpendicular a él.

Proyección escalar

La proyección escalar de a sobre b es la longitud con signo de a medida en la dirección de b:

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

Es positiva cuando a se inclina en el mismo sentido que b, cero cuando son perpendiculares y negativa cuando a apunta en sentido opuesto.

Proyección vectorial

La proyección vectorial es un vector que apunta a lo largo de b y cuya longitud es igual al valor absoluto de la proyección escalar:

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

El coeficiente a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} reescala b para que el resultado quede justo «debajo» de la punta de a.

El rechazo

El rechazo es lo que queda de a tras quitarle la proyección:

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

Es perpendicular a b, de modo que la proyección y el rechazo son ortogonales y suman de nuevo el vector original: a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}.

Ejemplo resuelto

Sea a = (3, 4, 0) y b = (1, 0, 0).

Primero los productos escalares:

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

El módulo de b es ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1, así que la proyección escalar es:

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

La proyección vectorial usa el coeficiente 31=3\frac{3}{1} = 3:

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

Y el rechazo es el resto perpendicular:

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

Como era de esperar, (3, 0, 0) y (0, 4, 0) son perpendiculares y suman de nuevo (3, 4, 0).

2D y 3D

Las mismas fórmulas funcionan en cualquier dimensión. Para un problema plano en 2D, deja las componentes z en 0 y lee los resultados en x e y; la salida z permanece en 0.

La analogía del trabajo

En física, el trabajo de una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento:

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

Es el módulo de la fuerza por la proyección escalar del desplazamiento sobre la fuerza. Solo la parte de la fuerza alineada con el movimiento realiza trabajo; la parte perpendicular (el rechazo) no aporta nada. La misma idea descompone el peso de un objeto en una rampa en una componente que lo desliza por la pendiente y otra que lo presiona contra la superficie.

Aplicaciones

  • Ortogonalización de Gram-Schmidt: resta la proyección de cada vector sobre los anteriores para construir una base ortogonal.
  • Ajuste por mínimos cuadrados: la mejor aproximación de un punto en un subespacio es su proyección sobre dicho subespacio.
  • Gráficos por computadora: proyectar una dirección de luz o de vista sobre una superficie determina el sombreado y la longitud de las sombras.
  • Descomposición de fuerzas: separar una fuerza en componentes a lo largo y a través de una dirección, como en un plano inclinado.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la diferencia entre proyección escalar y proyección vectorial?

La proyección escalar comp_b(a) = (a · b) / |b| es un único número con signo: cuánto alcanza a en la dirección de b. La proyección vectorial proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b es un vector completo: apunta a lo largo de b y tiene una longitud igual al valor absoluto de la proyección escalar. En resumen, la proyección escalar responde «cuánto» y la vectorial «cuánto y en qué dirección».

¿Cómo se proyecta un vector sobre otro?

Calcula el producto escalar a · b y el cuadrado del módulo b · b = |b|². La proyección escalar es (a · b) / |b|. La proyección vectorial es el coeficiente (a · b) / (b · b) multiplicado por b. Para a = (3, 4) y b = (1, 0): a · b = 3, |b| = 1, por lo que la proyección escalar es 3 y la vectorial es (3, 0).

¿Qué es el rechazo de un vector?

El rechazo es la parte de a que queda tras quitarle su proyección sobre b: a − proj_b(a). Es perpendicular a b, de modo que la proyección y el rechazo dividen a en dos partes ortogonales que vuelven a sumar a. Esta descomposición es la base del proceso de Gram-Schmidt y de descomponer una fuerza en componentes a lo largo y a través de una superficie.

¿Dónde se usan las proyecciones en física?

El trabajo de una fuerza constante es W = F · d = |F| |d| cos θ, que es el módulo de la fuerza por la proyección escalar del desplazamiento sobre la fuerza. Solo la componente de la fuerza en la dirección del movimiento realiza trabajo; la componente perpendicular (el rechazo) no aporta nada. Las proyecciones también descomponen el peso de un objeto en un plano inclinado en componentes a lo largo y normal a la superficie.

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