آخر تحديث: 2026-07-01

قاعدة سيمبسون

تقدّر قاعدة سيمبسون تكاملًا محددًا باستبدال المنحنى بقطوع مكافئة بدلًا من قطع مستقيمة. تُلاءَم كل شريحتين متجاورتين بقطع مكافئ يمرّ بثلاث نقاط، ويُقرَّب التكامل بمجموع المساحة الواقعة تحت هذه القطوع المكافئة. ولأن القطع المكافئ يتتبّع الانحناء الذي يفوته الوتر المستقيم، فإن قاعدة سيمبسون تكون عادةً أدق بكثير من قاعدة شبه المنحرف عند القدر نفسه من أخذ العينات.

قسّم الفترة [a, b] إلى n فترة جزئية متساوية عرضها h = (b − a) / n، حيث n زوجي. ينشأ عن ذلك n + 1 نقطة شبكية x₀ = a، x₁، x₂، …، xₙ = b. وأخذ عينة الدالة عند كل نقطة يعطي القيم f(x₀)، f(x₁)، …، f(xₙ)، ويكون التقدير:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

تعمل هذه الحاسبة انطلاقًا من قيم مأخوذة للدالة لا من صيغة مكتوبة: أنت تزوّدها بـ f عند النقاط المتساوية التباعد وعددها n + 1، وهو تمامًا الوضع حين تأتي البيانات من قياسات أو من جدول.

لماذا الأوزان هي 1، 4، 2، 4، 2، …، 4، 1

خذ كتلة من ثلاث نقاط [x₀, x₁, x₂] بتباعد h. القطع المكافئ الوحيد المارّ بها، إذا كُومِل بالضبط على الكتلة، يعطي

(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)

فتحمل نقطة منتصف الكتلة الوزن 4، ويحمل الطرفان الوزن 1. وعند وصل الكتل المتتالية — [x₀, x₁, x₂]، [x₂, x₃, x₄]، وهكذا — تحتفظ كل نقطة منتصف بوزنها 4، بينما تنتمي كل نقطة حدّية مشتركة إلى كتلتين فتكتسب الوزن 1 + 1 = 2. أما الطرفان الخارجيان فينتميان إلى كتلة واحدة ويبقيان عند الوزن 1. وبتجميع الحدود ينشأ النمط 1، 4، 2، 4، 2، …، 4، 1، الكل مضروب في h/3. وهذا الاقتران بين الكتل هو بالضبط سبب وجوب أن يكون n زوجيًا.

مثال محلول

قدّر ∫₀¹ x² dx باستخدام n = 4 فترات جزئية. طول الخطوة h = (1 − 0) / 4 = 0.25، والنقاط الشبكية هي 0، 0.25، 0.5، 0.75، 1. والقيم المأخوذة لـ x² هي:

طبّق القاعدة بالأوزان 1، 4، 2، 4، 1:

∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 4(0.0625) + 2(0.25) + 4(0.5625) + 1] ∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 0.25 + 0.5 + 2.25 + 1] = (0.25/3)·4 = 1/3

النتيجة هي 1/3 تمامًا، وهي القيمة الحقيقية للتكامل. وليس ذلك من قبيل الصدفة: تُكامِل قاعدة سيمبسون بالضبط أي كثير حدود حتى الدرجة الثالثة، لذا تُلتقَط دالة تربيعية مثل x² بخطأ صفري مهما كان عدد الشرائح.

كيف يتصرّف الخطأ

قاعدة سيمبسون من الرتبة الرابعة في الدقة: تنصيف h يقلّل الخطأ بنحو ستة عشر ضعفًا. وبالنسبة لدالة ذات مشتقة رابعة متصلة، يكون الخطأ على [a, b]

E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)

عند نقطة ما ξ في الفترة. ويترتّب على ذلك أمران:

• لأن الخطأ يعتمد على المشتقة الرابعة، فإن أي كثير حدود من الدرجة الثالثة أو أقل يُكامَل بالضبط — إذ مشتقته الرابعة صفر.
• بالنسبة للمنحنيات الملساء، يدفع العامل h⁴ الخطأ إلى الانخفاض بسرعة كبيرة، فيكفي عادةً عدد متواضع من الشرائح لبلوغ دقة عالية.

قاعدة سيمبسون مقابل قاعدة شبه المنحرف

تصل قاعدة شبه المنحرف بين النقاط بقطع مستقيمة، فيكون خطؤها متناسبًا مع h² (الرتبة الثانية). أما قاعدة سيمبسون فتلائم قطوعًا مكافئة وتبلغ h⁴ (الرتبة الرابعة)، فتتقارب أسرع بكثير عند العدد نفسه من النقاط. والمفاضلات:

• تتطلب قاعدة سيمبسون عددًا زوجيًا من الفترات الجزئية، بينما تعمل قاعدة شبه المنحرف مع أي n.
• مع البيانات المشوّشة أو غير المنتظمة، قد يؤدي فرض القطوع المكافئة إلى تضخيم الضوضاء، وتكون قاعدة شبه المنحرف عندئذٍ أكثر متانة أحيانًا.

قاعدة عملية: استعمل قاعدة سيمبسون حين تكون الدالة ملساء وتريد دقة عالية بالجهد نفسه؛ واستعمل قاعدة شبه المنحرف للتقديرات السريعة، أو للبيانات المشوّشة، أو حين يجب أن يكون n فرديًا.

ملاحظات عملية

• فترات جزئية زوجية فقط. تقرن قاعدة سيمبسون 1/3 الشرائح، لذا يجب أن يكون n زوجيًا. وتنبّه الحاسبة إلى n الفردي.
• طابِق العدد. مع n فترة جزئية عليك تزويد تمامًا n + 1 قيمة، واحدة لكل نقطة شبكية. وتنبّه الحاسبة إلى أي عدم تطابق كي يبقى التباعد منتظمًا.
• حافِظ على الترتيب. رتّب القيم من x₀ = a إلى xₙ = b. فالنقاط الداخلية ذات الدليل الفردي والزوجي تُوزَن بشكل مختلف، لذا يهمّ الترتيب.
• حدود معكوسة. إذا كان a أكبر من b، يصبح طول الخطوة سالبًا وتتغيّر إشارة النتيجة — تماشيًا مع العُرف القائل إن تبديل حدّي التكامل يقلب إشارته.
• تباعد متساوٍ فقط. هذه قاعدة سيمبسون على شبكة منتظمة. أما البيانات ذات التباعد غير المتساوي فتحتاج إلى صيغة تكامل عددي أعمّ.

حاسبات ذات صلة

• حاسبة التكامل المحدد للكثيرات الحدود — التكامل المضبوط لكثير حدود عبر النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
• حساب مشتقة كثيرة الحدود عند نقطة — المشتقة العددية عند نقطة واحدة
• حاسبة المتتالية الحسابية — حدود ومجاميع القيم المتساوية التباعد