Última actualización: 2026-06-23

Actualizar una probabilidad con nueva evidencia

El teorema de Bayes es una regla para revisar una probabilidad cuando aparece nueva información. Parte de una creencia inicial sobre la probabilidad de un suceso, la combina con la fuerza con que la evidencia apunta en una u otra dirección y devuelve una creencia revisada. Esta herramienta lo aplica al caso más habitual —una prueba diagnóstica— y convierte la prevalencia de una condición y la exactitud de una prueba en la probabilidad de que un resultado positivo sea real.

Probabilidad condicional

Una probabilidad condicional $P(A|B)$ es la probabilidad de que $A$ sea cierto dado que se ha observado $B$. Se distingue de la probabilidad simple $P(A)$ porque la observación de $B$ aporta información. Una prueba médica positiva no convierte una enfermedad en certeza; desplaza la probabilidad hacia arriba en una medida que depende tanto de la calidad de la prueba como de lo frecuente que fuera la enfermedad de partida. La calculadora de la Calculadora de Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes trabaja directamente con $P(A \cap B)$ y $P(B)$ cuando esos valores se conocen.

La fórmula

El teorema de Bayes relaciona las dos direcciones condicionales:

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

Cada término tiene un nombre:

• La probabilidad previa $P(A)$ es la probabilidad de $A$ antes de la evidencia; en una prueba, la prevalencia de la condición.
• La verosimilitud $P(B|A)$ es lo probable que es la evidencia cuando $A$ se cumple: la sensibilidad de la prueba, o tasa de verdaderos positivos.
• La probabilidad marginal (o de la evidencia) $P(B)$ es la probabilidad global de observar la evidencia en cualquier caso, tanto cuando $A$ es cierto como cuando no lo es. Se desarrolla como $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$, donde $P(B|\lnot A)$ es la tasa de falsos positivos.
• La probabilidad posterior $P(A|B)$ es el resultado: la probabilidad de $A$ después de la evidencia.

La falacia de la tasa base

El error más frecuente al leer el resultado de una prueba consiste en confundir la exactitud de la prueba con la probabilidad de que un positivo sea real. Son preguntas distintas y, cuando la condición es rara, sus respuestas son muy diferentes. Una prueba con un 90 % de sensibilidad y un 95 % de especificidad parece fiable, pero si solo 1 de cada 100 personas tiene la condición, la pequeña tasa de falsos positivos se aplica a las 99 personas sanas, que son tan numerosas que las falsas alarmas superan varias veces a los verdaderos positivos. Pasar por alto la prevalencia de este modo se denomina falacia de la tasa base.

Ejemplo resuelto

Supongamos que una condición afecta al 1 % de la población examinada, que la prueba detecta el 90 % de los casos reales y que marca erróneamente al 5 % de las personas sanas. La probabilidad previa es una prevalencia de 0,01, la sensibilidad es 0,90 y la tasa de falsos positivos es 0,05:

Así, un resultado positivo eleva la probabilidad de la condición del 1 % a aproximadamente el 15 %. La prueba modifica mucho la cifra —la multiplica por quince—, pero un único positivo deja el resultado todavía más probable falso que cierto. Por eso el cribado de condiciones raras suele ir seguido de una segunda prueba, más específica, en lugar de tomarse como concluyente.

Extensiones

El mismo teorema puede escribirse en forma de momios, que a menudo facilita razonar sobre la actualización: los momios posteriores son iguales a los momios previos multiplicados por el cociente de verosimilitudes $P(B|A) / P(B|\lnot A)$. En el ejemplo anterior, los momios previos son de uno a noventa y nueve y el cociente de verosimilitudes es dieciocho, lo que da unos momios posteriores de dieciocho a noventa y nueve, es decir, alrededor del 15 %: la misma respuesta. La calculadora de la Razón de momios (odds ratio) compara directamente dos de esos cocientes.

El teorema de Bayes también admite actualizaciones sucesivas: tras una prueba, la probabilidad posterior se convierte en la previa de la siguiente. Dos pruebas positivas independientes, aplicadas una tras otra, elevan la probabilidad mucho más que cualquiera de ellas por separado, que es justo el motivo por el que las pruebas de confirmación ganan fiabilidad. Siempre que la evidencia se acumula pieza a pieza, la misma regla se aplica en cada paso, con la conclusión de ayer como punto de partida de hoy.