Última actualización: 2026-06-23

Definición

La regresión lineal simple modela la relación entre una variable independiente x y una variable dependiente y ajustando una recta de la forma

$\hat{y} = a + b\,x$

donde b es la pendiente (el cambio promedio en y por unidad de cambio en x) y a es la ordenada al origen (el valor previsto de y cuando x = 0). El valor ajustado ŷ es una estimación de y para un x dado; la diferencia entre un valor observado yᵢ y su valor ajustado, $e_i = y_i - \hat{y}_i$, se denomina residuo.

Mínimos cuadrados

A través de una nube de puntos pueden trazarse muchas rectas. El método de los mínimos cuadrados elige la que minimiza la suma de los residuos al cuadrado,

$\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a - b\,x_i\bigr)^2.$

Elevar al cuadrado penaliza más los desvíos grandes que los pequeños e impide que los residuos positivos y negativos se cancelen. Minimizar esta suma tiene solución cerrada, así que no se requiere ningún proceso iterativo.

Fórmulas

Sean $\bar{x}$ e $\bar{y}$ las medias de x e y. La pendiente y la ordenada al origen de mínimos cuadrados son

$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}, \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}.$

El numerador de b mide cómo covarían x e y; el denominador es la dispersión de x. La fórmula de la ordenada al origen garantiza que la recta ajustada pasa por el punto de las medias $(\bar{x}, \bar{y})$.

El coeficiente de determinación

El coeficiente de determinación, $R^2$, indica la fracción de la varianza de y que explica la recta ajustada:

$R^2 = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2}.$

Va de 0 (la recta no explica nada de la variación) a 1 (la recta pasa exactamente por todos los puntos). En la regresión lineal simple, $R^2$ es igual al cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson r, de modo que una correlación fuerte implica un $R^2$ alto. Véase la calculadora de Calculadora del coeficiente de correlación de Pearson para la medida de asociación relacionada.

Ejemplo resuelto

Con el conjunto de datos predeterminado, X = [1, 2, 3, 4, 5] e Y = [2, 4, 5, 4, 5], las medias son $\bar{x} = 3$ e $\bar{y} = 4$. Calculando las sumas de las desviaciones se obtiene $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 = 10$, $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6$ y $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2 = 6$.

La recta ajustada ŷ = 2,2 + 0,6·x sube 0,6 en y por cada unidad de x y explica alrededor del 60 % de la variación de y.

Supuestos y límites

La recta de mínimos cuadrados es más fiable cuando se cumplen varias condiciones:

• Linealidad. Una recta debe ser un resumen razonable del patrón. Si los puntos se curvan, un ajuste lineal puede dar un $R^2$ moderado y, aun así, fallar de forma sistemática en la tendencia; conviene examinar el diagrama de dispersión antes de confiar en la pendiente.
• Valores atípicos. Como los residuos se elevan al cuadrado, un único punto lejano puede atraer la recta hacia sí y distorsionar tanto la pendiente como el $R^2$. Conviene revisar los puntos extremos antes de sacar conclusiones.
• Rango de predicción. Extrapolar mucho más allá del rango observado de x es arriesgado: la relación lineal puede no mantenerse allí, y la ordenada al origen solo es interpretable cuando x = 0 está cerca de los datos.
• Correlación no es causalidad. Un buen ajuste muestra que x e y se mueven juntas, pero no demuestra que x cause y. Una tercera variable oculta puede impulsar ambas. Estandarizar las variables con una Calculadora de Puntaje Z ayuda a comparar efectos, pero las afirmaciones causales requieren un estudio controlado.

A pesar de estas advertencias, la regresión lineal simple sigue siendo una de las herramientas más usadas en estadística, ya que ofrece un resumen transparente y de solución cerrada de cómo depende una variable de otra.