Calculadora de covarianza

Valores de X	1, 2, 3, 4, 5
Valores de Y	2, 4, 5, 4, 5

Valores de X

1, 2, 3, 4, 5

Valores de Y

2, 4, 5, 4, 5

Resultados

Covarianza muestral	1,5
$\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}$
Covarianza poblacional	1,2
$\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}$
Media de X	3
Media de Y	4
Cantidad	5

Covarianza muestral

1,5

\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}

Covarianza poblacional

1,2

\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}

Media de X

Media de Y

Cantidad

Última actualización: 2026-07-02

Qué mide la covarianza

La covarianza mide cómo cambian juntas dos variables. Si los valores mayores de una variable tienden a acompañar a los valores mayores de la otra, la covarianza es positiva; si los valores mayores de una acompañan a valores menores de la otra, es negativa. Una covarianza cercana a cero indica poca relación lineal.

Para observaciones emparejadas (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), la covarianza se construye a partir de los productos de las desviaciones emparejadas: la distancia de cada valor de x respecto a la media de X multiplicada por la distancia del valor de y correspondiente respecto a la media de Y:

Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)

Dividir esta suma por n da la covarianza poblacional; dividirla por n − 1 da la covarianza muestral.

Covarianza poblacional frente a muestral

Hay dos fórmulas que solo difieren en el denominador:

Covarianza poblacional: σxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / n
Covarianza muestral: sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / (n − 1)

Usa la forma poblacional cuando tus datos abarcan a todos los miembros del grupo de interés. Usa la forma muestral —la predeterminada en la mayoría del software estadístico— cuando los datos son una muestra extraída de una población mayor. El divisor n − 1, conocido como corrección de Bessel, compensa la ligera subestimación que surge porque las medias x̄ e ȳ se estiman a partir de la misma muestra.

Ejemplo resuelto

Supongamos que un pequeño estudio registra las horas de estudio (X) y las notas de un examen (Y) de cinco estudiantes:

X = 1, 2, 3, 4, 5
Y = 2, 4, 5, 4, 5

Paso 1 — medias. x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 e ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.

Paso 2 — productos de las desviaciones. Calcula cada (xi − x̄)(yi − ȳ):

(1 − 3)(2 − 4) = (−2)(−2) = 4
(2 − 3)(4 − 4) = (−1)(0) = 0
(3 − 3)(5 − 4) = (0)(1) = 0
(4 − 3)(4 − 4) = (1)(0) = 0
(5 − 3)(5 − 4) = (2)(1) = 2

Paso 3 — suma. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.

Paso 4 — dividir. Covarianza poblacional = 6 / 5 = 1,2. Covarianza muestral = 6 / (5 − 1) = 6 / 4 = 1,5.

El resultado positivo confirma que en estos datos las horas de estudio y las notas tienden a subir juntas.

Cómo se relaciona la covarianza con la correlación

La covarianza indica la dirección de una relación lineal, pero no su fuerza de manera comparable, porque su tamaño depende de las unidades y la escala de los datos. El coeficiente de correlación lo corrige dividiendo la covarianza por el producto de las dos desviaciones estándar, reescalando el resultado para que siempre quede entre −1 y +1.

En resumen: la covarianza es la medida sin normalizar, y la correlación es su contraparte estandarizada y sin unidades. Cuando quieras juzgar cuán estrechamente se mueven juntas dos variables, calcula el coeficiente de correlación; cuando necesites la medida bruta —por ejemplo, para armar una matriz de covarianzas—, usa la covarianza directamente.

Interpretar el signo y la magnitud

El signo de la covarianza es significativo por sí mismo:

Positivo: las variables tienden a moverse en la misma dirección.
Negativo: las variables tienden a moverse en direcciones opuestas.
Cercano a cero: poca relación lineal.

La magnitud, en cambio, no es directamente interpretable, porque lleva el producto de las unidades de las dos variables. Una covarianza medida en kilogramos-centímetros no puede compararse con una medida en dólares por año. Para comparar fuerzas entre conjuntos de datos, convierte siempre al coeficiente de correlación.

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Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la diferencia entre covarianza muestral y poblacional?

Ambas miden cómo varían juntas dos variables, pero difieren en el denominador. La covarianza poblacional divide la suma de los productos de las desviaciones por n, tratando los datos como la población completa. La covarianza muestral divide en cambio por n − 1 —la corrección de Bessel—, que compensa el hecho de que una muestra tiende a subestimar la dispersión real cuando las medias se estiman a partir de los mismos datos.

Usa la forma poblacional solo cuando los datos abarquen a todos los miembros del grupo de interés. En la práctica, los datos suelen ser una muestra extraída de una población mayor, por lo que la covarianza muestral (÷ n − 1) es la opción adecuada, y es el valor que la mayoría del software estadístico informa de forma predeterminada.

¿Cómo se relaciona la covarianza con el coeficiente de correlación?

El coeficiente de correlación es una covarianza estandarizada. Divide la covarianza por el producto de las dos desviaciones estándar, lo que reescala el resultado para que siempre quede entre −1 y +1. Eso hace que la correlación sea comparable entre conjuntos de datos con distintas unidades y dispersiones, algo que la covarianza no permite.

Por ello, la covarianza indica la dirección de la relación (positiva, negativa o nula) pero no su fuerza en un sentido absoluto: una covarianza grande puede significar simplemente que las variables tienen unidades grandes. Si quieres una medida sin unidades de cuán estrechamente se relacionan dos variables, calcula el coeficiente de correlación.

¿Qué indica el signo de la covarianza?

Una covarianza positiva significa que las dos variables tienden a moverse en la misma dirección: cuando X está por encima de su media, Y también tiende a estar por encima de la suya. Una covarianza negativa significa que se mueven en direcciones opuestas: X por encima de su media se empareja con Y por debajo de la suya. Una covarianza cercana a cero indica poca relación lineal.

La magnitud, en cambio, no es interpretable por sí sola, porque depende de las unidades y la escala de los datos. Para juzgar la fuerza de la relación, observa el coeficiente de correlación en lugar del valor bruto de la covarianza.

¿Qué unidades tiene la covarianza?

La covarianza lleva el producto de las unidades de las dos variables. Si X se mide en kilogramos e Y en centímetros, la covarianza se expresa en kilogramos-centímetros. Por eso el número bruto es difícil de interpretar y no puede compararse directamente entre distintos pares de variables.

El coeficiente de correlación resuelve esto dividiendo las unidades y produciendo un número adimensional entre −1 y +1. Cuando necesites un valor comparable o interpretable como fuerza, usa la correlación; usa la covarianza cuando necesites específicamente la medida sin normalizar, por ejemplo como entrada de una matriz de covarianzas.

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