Calculadora de la regla de Simpson
Datos de entrada
| Límite inferior | 0 |
|---|---|
| Límite superior | 1 |
| Subintervalos (par) | 4 |
| Valores de la función | 1, 0.94, 0.78, 0.64, 0.5 |
Calculadora de la regla de Simpson
Aproxima una integral definida con la regla de Simpson 1/3 a partir de valores muestreados de la función. Introduce los límites, un número par de subintervalos y los valores f(x₀)…f(xₙ) para obtener la estimación parabólica del área y el tamaño del paso.
Datos de entrada
Resultados
Introduce un valor para ver los resultados.
La regla de Simpson
La regla de Simpson estima una integral definida sustituyendo la curva por parábolas en lugar de segmentos rectos. Cada par de franjas contiguas se ajusta con una parábola que pasa por tres puntos, y la integral se aproxima por el área total bajo esas parábolas. Como una parábola sigue la curvatura que una cuerda recta pierde, la regla de Simpson suele ser mucho más precisa que la del trapecio con el mismo esfuerzo de muestreo.
Divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales de ancho h = (b − a) / n, con n par. Así se crean n + 1 puntos de malla x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Muestrear la función en cada punto da los valores f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), y la estimación es:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
Esta calculadora trabaja a partir de valores muestreados de la función y no de una fórmula escrita: proporcionas f en los n + 1 puntos equiespaciados, exactamente la situación cuando los datos provienen de mediciones o de una tabla.
Por qué los pesos son 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1
Toma un bloque de tres puntos [x₀, x₁, x₂] con espaciado h. La única parábola que pasa por ellos, integrada de forma exacta sobre el bloque, da
(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)
así que el punto medio del bloque lleva peso 4 y los dos extremos peso 1. Al unir bloques consecutivos —[x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄], etc.—, cada punto medio conserva su peso 4, mientras que cada punto frontera compartido pertenece a dos bloques y adquiere peso 1 + 1 = 2. Los dos extremos exteriores pertenecen a un solo bloque y se quedan con peso 1. Al agrupar los términos aparece el patrón 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, todo multiplicado por h/3. Este emparejamiento de bloques es justo por lo que n debe ser par.
Ejemplo resuelto
Estima ∫₀¹ x² dx con n = 4 subintervalos. El paso es h = (1 − 0) / 4 = 0,25 y los puntos de malla son 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Los valores muestreados de x² son:
| x | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 |
Aplica la regla con los pesos 1, 4, 2, 4, 1:
∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 4(0,0625) + 2(0,25) + 4(0,5625) + 1] ∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 0,25 + 0,5 + 2,25 + 1] = (0,25/3)·4 = 1/3
El resultado es exactamente 1/3, el valor verdadero de la integral. No es casualidad: la regla de Simpson integra de forma exacta cualquier polinomio de grado hasta tres, así que una cuadrática como x² se captura con error cero sin importar cuántas franjas se usen.
Cómo se comporta el error
La regla de Simpson es de cuarto orden: al reducir h a la mitad, el error baja unas dieciséis veces. Para una función con cuarta derivada continua, el error sobre [a, b] es
E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)
para algún ξ del intervalo. De aquí se siguen dos consecuencias:
- Como el error depende de la cuarta derivada, cualquier polinomio de grado tres o menor se integra de forma exacta: su cuarta derivada es cero.
- Para curvas suaves, el factor h⁴ hace caer el error muy rápido, de modo que un número modesto de franjas suele bastar para alta precisión.
La regla de Simpson frente a la del trapecio
La regla del trapecio une los puntos con segmentos rectos, así que su error es proporcional a h² (segundo orden). La de Simpson ajusta parábolas y alcanza h⁴ (cuarto orden), convergiendo mucho más rápido con el mismo número de puntos. Las contrapartidas:
- La regla de Simpson exige un número par de subintervalos, mientras que la del trapecio funciona con cualquier n.
- Con datos ruidosos o irregulares, forzar parábolas puede amplificar el ruido; ahí la del trapecio es a veces más robusta.
Regla práctica: recurre a la de Simpson cuando la función sea suave y quieras alta precisión con el mismo esfuerzo; usa la del trapecio para estimaciones rápidas, datos ruidosos o cuando n deba ser impar.
Notas prácticas
- Solo subintervalos pares. La regla de Simpson 1/3 empareja las franjas, así que n debe ser par. La calculadora señala un n impar.
- Cuadra la cantidad. Con n subintervalos debes aportar exactamente n + 1 valores, uno por punto de malla. La calculadora señala un desajuste para que el espaciado sea uniforme.
- Mantén el orden. Enumera los valores de x₀ = a a xₙ = b. Los puntos interiores de índice impar y par tienen pesos distintos, así que el orden importa.
- Límites invertidos. Si a es mayor que b, el paso es negativo y el resultado cambia de signo, en consonancia con la convención de que intercambiar los límites de una integral la cambia de signo.
- Solo espaciado igual. Esta es la regla de Simpson en malla uniforme. Los datos con espaciado desigual necesitan una fórmula de cuadratura más general.
Calculadoras relacionadas
- Integral Definida de Polinomios — integral exacta de un polinomio por el teorema fundamental del cálculo
- Derivada de un polinomio en un punto — derivada numérica en un solo punto
- Calculadora de Progresión Aritmética — términos y sumas de valores equiespaciados
Preguntas frecuentes (FAQ)
¿Cuántos valores de la función debo introducir?
Dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos crea n + 1 puntos de malla: x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Introduces el valor de la función en cada uno de esos puntos, así que n subintervalos requieren n + 1 valores.
Como la regla de Simpson agrupa las franjas por pares, n debe ser par: por ejemplo, 4 subintervalos sobre [0, 1] usan los puntos 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1, que son cinco valores. Si la cantidad de valores y de subintervalos no coincide, la calculadora lo señala para que el espaciado se mantenga uniforme.
¿Por qué los pesos alternan 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1?
La regla de Simpson ajusta una parábola a cada bloque de tres puntos consecutivos e integra esa parábola de forma exacta. Sobre un bloque [x₀, x₂] el área resulta (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂): el punto medio de la parábola lleva peso 4 y los dos extremos peso 1.
Al unir bloques contiguos, cada punto frontera compartido pertenece a dos parábolas, así que sus pesos suman 2, mientras que cada punto medio conserva su peso 4. Los dos extremos exteriores pertenecen a un solo bloque y se quedan con peso 1. Al agrupar los términos aparece el patrón conocido 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, todo multiplicado por h/3.
¿Qué precisión tiene la regla de Simpson frente a la del trapecio?
La regla de Simpson aproxima la curva con parábolas en lugar de segmentos rectos, por lo que su error disminuye proporcionalmente a h⁴ (cuarto orden), mientras que la del trapecio es solo de segundo orden (error proporcional a h²). Para funciones suaves Simpson es mucho más precisa con la misma cantidad de puntos, y es exacta para cualquier polinomio de grado hasta tres.
La contrapartida es que la regla de Simpson exige un número par de subintervalos, mientras que la del trapecio funciona con cualquier n. Con datos ruidosos o irregulares, forzar parábolas puede amplificar el ruido, así que a veces la regla del trapecio es la opción más segura.
¿Y si el límite inferior es mayor que el superior?
Si a es mayor que b, el paso h = (b − a) / n es negativo, lo que invierte el signo del resultado, en consonancia con la convención de que intercambiar los límites de una integral la cambia de signo. La magnitud de la estimación no varía. Enumera los valores de la función en orden, desde x₀ = a hasta xₙ = b, para que el emparejamiento con los puntos de la malla siga siendo correcto.
Recomendaciones
Integral Definida de Polinomios
Calcula la integral definida exacta de cualquier polinomio aplicando la regla de la potencia y el Teorema Fundamental del Cálculo.