Calculadora de la regla del trapecio
Datos de entrada
| Límite inferior | 0 |
|---|---|
| Límite superior | 1 |
| Subintervalos | 4 |
| Valores de la función | 1, 0.94, 0.78, 0.64, 0.5 |
Calculadora de la regla del trapecio
Aproxima una integral definida con la regla del trapecio a partir de valores muestreados de la función. Introduce los límites, el número de subintervalos y los valores f(x₀)…f(xₙ) para obtener la estimación del área y el tamaño del paso.
Datos de entrada
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La regla del trapecio
La regla del trapecio estima una integral definida sustituyendo la curva por segmentos rectos entre los puntos muestreados. Cada franja se convierte en un trapecio, y la integral se aproxima por el área total de esos trapecios.
Al dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho h = (b − a) / n se obtienen n + 1 puntos de malla x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Evaluando la función en cada punto se tienen los valores f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), y la estimación es:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
Esta calculadora trabaja con valores muestreados de la función, no con una fórmula escrita: tú proporcionas f en los n + 1 puntos equiespaciados, que es justo la situación cuando los datos provienen de mediciones o de una tabla.
Por qué los pesos son 1, 2, 2, …, 2, 1
Un solo subintervalo [xᵢ, xᵢ₊₁] forma un trapecio con lados paralelos f(xᵢ) y f(xᵢ₊₁) y ancho h. Su área es (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)). Al sumar las áreas de los n trapecios, cada punto interior es compartido por dos trapecios vecinos, así que aparece dos veces, mientras que los dos extremos aparecen una sola vez. De ahí el patrón de pesos 1, 2, 2, …, 2, 1, todos multiplicados por h/2. Una reordenación cómoda, usada internamente, es
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ],
que suma cada valor dos veces y luego resta los extremos una vez.
Ejemplo resuelto
Estima ∫₀¹ x² dx con n = 4 subintervalos. El paso es h = (1 − 0) / 4 = 0,25 y los puntos de malla son 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Los valores de x² son:
| x | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 |
Aplicando la regla:
∫ ≈ (0,25/2)·[0 + 2(0,0625) + 2(0,25) + 2(0,5625) + 1] ∫ ≈ 0,125·[0 + 0,125 + 0,5 + 1,125 + 1] = 0,125·2,75 = 0,34375
El valor exacto es 1/3 ≈ 0,33333, así que cuatro franjas ya quedan a unos 0,01. Afinando a n = 10 da 0,335 y n = 100 da 0,333325: el error cae aproximadamente en proporción a h².
Cómo se comporta el error
La regla del trapecio es de segundo orden: reducir h a la mitad recorta el error en torno a un factor de cuatro. Para una función dos veces derivable, el error sobre [a, b] es
E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)
para algún punto ξ del intervalo. Del signo de la segunda derivada se siguen dos consecuencias:
- En una curva cóncava hacia arriba (f″ > 0) las cuerdas quedan por encima de la curva, así que la regla sobreestima la integral.
- En una curva cóncava hacia abajo (f″ < 0) las cuerdas quedan por debajo, así que la subestima.
Para rectas f″ = 0, por lo que la regla del trapecio es exacta: cada franja es un trapecio verdadero sin curvatura que perder.
Regla del trapecio frente a la regla de Simpson
La regla de Simpson ajusta una parábola a cada par de subintervalos en vez de un segmento recto. Su error es proporcional a h⁴, así que para funciones suaves converge mucho más rápido con el mismo número de puntos. A cambio, Simpson exige un número par de subintervalos, mientras que el trapecio funciona con cualquier n. El trapecio también es más robusto con datos ruidosos o irregulares, donde forzar una parábola sobre puntos dispersos puede amplificar el ruido.
Como regla práctica: usa el trapecio para estimaciones rápidas, datos tabulados o cuando n deba ser impar; recurre a Simpson cuando la función sea suave y quieras alta precisión con el mismo muestreo.
Notas prácticas
- Cuadra el conteo. Con n subintervalos debes aportar exactamente n + 1 valores, uno por punto de malla. La calculadora señala los desajustes para que el espaciado sea uniforme.
- Mantén el orden. Enumera los valores de x₀ = a a xₙ = b. Los extremos se ponderan distinto que los puntos interiores, así que el orden importa.
- Límites invertidos. Si a es mayor que b, el paso es negativo y el resultado cambia de signo, en línea con la convención de intercambiar los límites de integración.
- Solo espaciado uniforme. Esta es la regla del trapecio en malla uniforme. Los datos desigualmente espaciados requieren la fórmula general con anchos por franja.
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Preguntas frecuentes (FAQ)
¿Cuántos valores de la función debo introducir?
Dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos crea n + 1 puntos de malla: x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Introduces el valor de la función en cada uno de esos puntos, así que n subintervalos requieren n + 1 valores. Por ejemplo, 4 subintervalos sobre [0, 1] usan los puntos 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1: cinco valores en total. Si la cantidad de valores y de subintervalos no coincide, la calculadora lo señala para que el espaciado se mantenga uniforme.
¿Por qué los extremos cuentan una vez y los puntos interiores dos?
Cada subintervalo aporta un trapecio cuya área es (h/2)(altura izquierda + altura derecha). Los trapecios contiguos comparten un punto de malla interior, por lo que su altura aparece en dos trapecios y se suma dos veces. Los dos extremos x₀ y xₙ pertenecen a un solo trapecio cada uno, así que se cuentan una vez. Al agrupar los términos se obtienen los pesos clásicos 1, 2, 2, …, 2, 1, todos multiplicados por h/2.
¿Qué precisión tiene la regla del trapecio frente a la regla de Simpson?
La regla del trapecio aproxima la curva entre puntos con segmentos rectos, por lo que su error disminuye proporcionalmente a h² (es de segundo orden). Es exacta para rectas, sobreestima las curvas cóncavas hacia abajo y subestima las cóncavas hacia arriba.
La regla de Simpson ajusta parábolas a pares de subintervalos y tiene un error proporcional a h⁴, así que para funciones suaves suele ser mucho más precisa con la misma cantidad de puntos. Aumenta los subintervalos para reducir el error del trapecio, o pasa a Simpson cuando necesites alta precisión.
¿Y si el límite inferior es mayor que el superior?
Si a es mayor que b, el paso h = (b − a) / n es negativo, lo que invierte el signo del resultado, en consonancia con la convención de que intercambiar los límites de una integral la cambia de signo. La magnitud de la estimación no varía. Enumera los valores de la función en orden, desde x₀ = a hasta xₙ = b, para que el emparejamiento con los puntos de la malla siga siendo correcto.
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