ホーム 物理 重力による時間の遅れの計算 作成日: 2026年6月17日 17:25 重力による時間の遅れの計算 入力 質量1 M☉半径1 R☉固有時間1 年 物理 重力による時間の遅れの計算 一般相対性理論による重力時間の遅れを計算します。天体の質量、その中心からの距離、固有時間の間隔を入力すると、遅れの因子と、遠方の観測者が測定する時間が求められます。 メートル法 入力 質量 M☉ 重力を及ぼす天体の質量(M)。重力が強いほど時間の遅れは大きくなります。 半径 R☉ 質量の中心から時計までの距離(r)。シュバルツシルト半径 2GM/c² より大きい必要があります。 固有時間 年 半径 r にある時計でその時計自身の系で測った、経過する時間間隔(t₀)。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 遠方の観測者の時間 年 半径 r で t₀ が経過する間に遠方の観測者が記録する時間: t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²)。質量から遠いほど多くの時間が経過します。 詳細 遅れの因子 強い重力下の時計が遠方の時計に対してどれだけ遅れるかを表す比 γ_g = 1 / √(1 − 2GM/rc²)。常に 1 より大きくなります。 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-06-16 重力による時間の遅れ 重力による時間の遅れはアインシュタインの一般相対性理論から導かれる現象です。強い重力場の中では時計がより遅く時を刻みます。重力の深みにある時計は、遠く離れた同一の時計より遅れます。効果は地球上では微小ですが、中性子星やブラックホールのような非常に高密度の天体の近くでは劇的になります。 この計算機は、天体の質量 MM、その中心からの距離 rr、その半径で測った固有時間の間隔 t0t_0 を入力すると、遅れの因子と、質量の近くで t0t_0 が経過する間に遠方の観測者が記録する時間 tt を返します。 重力による時間の遅れの仕組み 一般相対論では質量が時空を曲げ、その曲率が時間の流れを遅らせます。時計が大質量天体に近いほど、重力のない遠方の時計に対してその進みは遅れます。遠方の観測者の時計は比較的速く進むため、彼らは重力の深みにある時計より長い間隔を記録します — 質量の近くの時計は遅く進むように見えます。 効果はシュバルツシルト半径 2GM/c22GM/c^2 と実際の半径 rr の比に支配されます。rr がシュバルツシルト半径よりはるかに大きいとき補正は無視でき、rr がそれに向かって縮むと遅れは発散します。 公式 量記号定義遅れの因子γg\gamma_gγg=11−2GM/rc2\gamma_g = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}固有時間t0t_0半径 rr の時計が測る時間遠方の時間ttt=t01−2GM/rc2t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}重力定数GG6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−26.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}光速cc299 792 458 m/s299\,792\,458\ \text{m/s}(厳密値) 因子は常に 1 より大きくなります。r → ∞ で 1 に近づき遅れは消えます。rr がシュバルツシルト半径 2GM/c22GM/c^2 に近づくと際限なく大きくなります。 計算例 太陽の表面にある時計を考えます: M=1.989×1030 kgM = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}、r=6.9634×108 mr = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}。 ステップ1 — シュバルツシルト比: 2GMrc2=2(6.674×10−11)(1.989×1030)(6.9634×108)(2.998×108)2≈4.24×10−6\frac{2GM}{rc^2} = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}{(6.9634 \times 10^8)(2.998 \times 10^8)^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}rc22GM=(6.9634×108)(2.998×108)22(6.674×10−11)(1.989×1030)≈4.24×10−6 ステップ2 — 遅れの因子: γg=11−4.24×10−6≈1.0000021\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} \approx 1.0000021γg=1−4.24×10−61≈1.0000021 太陽の表面の時計は、遠方の時計に比べておよそ 100 万分の 2 だけ遅れます。一年間で遠方の観測者はおよそ 67 秒余分に記録します。これらの値を計算機に入力すると同じ結果が得られます。 重力場の強さごとの遅れ 天体2GM/rc22GM/rc^2遅れの因子地球の表面1.4×10−91.4 \times 10^{-9}1.0000000007太陽の表面4.2×10−64.2 \times 10^{-6}1.0000021白色矮星の表面∼10−4\sim 10^{-4}∼1.00005\sim 1.00005中性子星の表面∼0.3\sim 0.3∼1.2\sim 1.2 実世界とのつながり 重力による時間の遅れは理論上のものにとどまりません。重力の弱い場所を周回する GPS 衛星は、地上の時計に対して一日あたり約 45 マイクロ秒進みます。これを補正しなければ測位は一日あたり数キロメートルずれてしまいます。パウンド-レブカの実験は 22 メートルの塔にわたってシフトを測定し、今日の原子時計は数十センチメートルの高さの違いでも差を検出します。 制約: 静的で回転しない質量 この計算機は、球対称で回転せず電荷を持たない質量を記述するシュバルツシルト計量を用います。半径はシュバルツシルト半径 2GM/c22GM/c^2 の外側にある必要があります。回転(カー計量)、電荷、特殊相対論の速度による時間の遅れは、ここには含まれない別の効果です。 よくある質問 (FAQ)重力による時間の遅れとは何ですか?重力による時間の遅れはアインシュタインの一般相対性理論が予言する現象で、強い重力場の中では時計がより遅く進みます。大質量天体の近くにある時計は、遠く離れた同一の時計より遅く時を刻みます。効果は t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²) で表され、M は質量、r は中心からの距離、G は重力定数、c は光速です。これは相対運動に依存する特殊相対論の速度による時間の遅れとは別の現象です。 重力による時間の遅れの公式は何ですか?回転しない球対称の質量について、シュバルツシルト解は t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²) を与えます。量 2GM/c² はシュバルツシルト半径です。r がこの半径よりはるかに大きいとき平方根は 1 に近く遅れは小さくなります。r がシュバルツシルト半径に近づくと分母はゼロに近づき、遅れは際限なく大きくなります。因子は常に 1 より大きいので、遠方の観測者は重力の深みにある時計より常に多くの経過時間を記録します。 なぜ GPS 衛星は時間の遅れを補正するのですか?GPS 衛星は地表約 20 000 km 上空を周回し、そこでは重力が弱いため、重力による時間の遅れにより衛星の時計は地上の時計より一日あたり約 45 マイクロ秒速く進みます。軌道速度による特殊相対論的な遅れは一日あたり約 7 マイクロ秒遅らせるので、正味で一日あたりおよそ 38 マイクロ秒の進みが残ります。両方の効果を補正しなければ測位誤差が一日あたり数キロメートルずつ蓄積するので、衛星の時計はあらかじめずらしてあります。 ブラックホールの近くで時間はどうなりますか?物体がブラックホールの事象の地平面 — シュバルツシルト半径にある面 — に近づくにつれ、重力による時間の遅れは極端になります。遠方の観測者には、落下する物体が減速し光が赤方偏移し、地平面で凍りついて決して越えないように見えますが、物体自身は有限の固有時間で越えます。地平面のちょうど上では遅れの因子は発散します。このため、この計算機は半径がシュバルツシルト半径の外側にあることを要求します。 次のおすすめ 時間の遅れの計算 特殊相対性理論に基づく相対論的な時間の遅れを計算します。固有時間と速度を入力すると、ローレンツ因子 γ と静止観測者が計測する遅れた時間が求まります。アインシュタインの特殊相対性理論に基づいています。 詳しく解説シュバルツシルト半径の計算 質量からシュバルツシルト半径（自転していないブラックホールの事象の地平面の大きさ）を Rₛ = 2GM/c² で求めます。質量を太陽質量・地球質量・キログラムで入力すると、半径をキロメートル・メートル・太陽半径・天文単位で算出します。 詳しく解説重力赤方偏移の計算 大質量天体を離れる光の重力赤方偏移を計算します。質量、放射半径、放射波長を入力すると、赤方偏移 z、観測波長、シフト因子 1 + z が求められます。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 現代物理の他の計算 コンプトン散乱の計算ド・ブロイ波長の計算ハイゼンベルクの不確定性原理の計算ボーアの原子模型の計算ローレンツ収縮(長さの収縮)の計算重力による時間の遅れの計算 +11 more Show less 井戸型ポテンシャル(箱の中の粒子)の計算核結合エネルギーの計算光子エネルギーの計算光電効果の計算時間の遅れの計算質量エネルギー等価の計算重力赤方偏移の計算相対論的エネルギーの計算相対論的ドップラー効果の計算相対論的運動量の計算相対論的速度の合成の計算 物理の他のカテゴリ 運動学 ニュートンの運動方程式（F＝ma）の計算斜面上の放物運動・軌道計算放物運動：最高高度と射程から初速度・発射角度を計算放物運動：射程と発射角度からの初速度放物運動：標的に当てる発射角度放物運動計算力学 カーブのバンク角の計算ケプラーの第三法則による公転周期の計算ドップラー効果の計算トルクと動力の計算トルクの計算フックの法則の計算ヤング率の計算レイノルズ数の計算圧力の計算運動量と力積の計算音速の計算回転運動エネルギーの計算回転運動学の計算角運動量の計算慣性モーメントの計算弦を伝わる波の速さの計算向心力の計算抗力の計算仕事・仕事率の計算自由落下の計算質量密度の計算斜面の物体にはたらく力の計算終端速度の計算出力重量比の計算静水圧の計算脱出速度の計算単振り子の計算転がり運動の運動エネルギーの計算等加速度運動の計算動圧の計算浮力の計算摩擦力の計算万有引力の計算エネルギー ウィーンの変位則の計算エネルギー効率の計算カルノー効率の計算シュテファン＝ボルツマンの法則の計算運動エネルギーの計算混合後の平衡温度の計算重力による位置エネルギーの計算潜熱の計算二乗平均平方根速度の計算熱伝導の計算熱膨張の計算比熱の計算電磁気 555 タイマー非安定動作の計算LC共振周波数の計算LED 直列抵抗の計算RC フィルタのカットオフ周波数の計算RC時定数の計算RLC インピーダンスの計算RLC 回路の Q 値と帯域幅の計算アンテナ長の計算インダクタの蓄積エネルギーの計算オームの法則の計算クーロンの法則の計算コイルの直列・並列接続の計算コンデンサの直列・並列合成の計算コンデンサの電荷とエネルギーの計算スネルの法則の計算ソレノイド磁場の計算レンズ製作者の式による計算磁気力の計算実効値・ピーク・ピークツーピーク電圧の計算直線電流がつくる磁場の計算抵抗の直列・並列合成の計算電気ポテンシャルの計算電線の抵抗の計算電力の計算波長・周波数の計算薄レンズの計算分圧回路の計算平行板コンデンサの静電容量の計算変圧器の巻数比の計算誘導性リアクタンスの計算容量性リアクタンスの計算力率改善コンデンサの計算天文学 シュバルツシルト半径の計算ハッブルの法則の計算ロッシュ限界の計算会合周期の計算距離指数の計算光の到達時間の計算恒星光度の計算視直径の計算赤方偏移から速度への変換年周視差からの距離の計算表面重力の計算望遠鏡の倍率の計算すべてのツール うなり周波数の計算定常波倍音の計算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-06-16 重力による時間の遅れ 重力による時間の遅れはアインシュタインの一般相対性理論から導かれる現象です。強い重力場の中では時計がより遅く時を刻みます。重力の深みにある時計は、遠く離れた同一の時計より遅れます。効果は地球上では微小ですが、中性子星やブラックホールのような非常に高密度の天体の近くでは劇的になります。 この計算機は、天体の質量 MM、その中心からの距離 rr、その半径で測った固有時間の間隔 t0t_0 を入力すると、遅れの因子と、質量の近くで t0t_0 が経過する間に遠方の観測者が記録する時間 tt を返します。 重力による時間の遅れの仕組み 一般相対論では質量が時空を曲げ、その曲率が時間の流れを遅らせます。時計が大質量天体に近いほど、重力のない遠方の時計に対してその進みは遅れます。遠方の観測者の時計は比較的速く進むため、彼らは重力の深みにある時計より長い間隔を記録します — 質量の近くの時計は遅く進むように見えます。 効果はシュバルツシルト半径 2GM/c22GM/c^2 と実際の半径 rr の比に支配されます。rr がシュバルツシルト半径よりはるかに大きいとき補正は無視でき、rr がそれに向かって縮むと遅れは発散します。 公式 量記号定義遅れの因子γg\gamma_gγg=11−2GM/rc2\gamma_g = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}固有時間t0t_0半径 rr の時計が測る時間遠方の時間ttt=t01−2GM/rc2t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}重力定数GG6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−26.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}光速cc299 792 458 m/s299\,792\,458\ \text{m/s}(厳密値) 因子は常に 1 より大きくなります。r → ∞ で 1 に近づき遅れは消えます。rr がシュバルツシルト半径 2GM/c22GM/c^2 に近づくと際限なく大きくなります。 計算例 太陽の表面にある時計を考えます: M=1.989×1030 kgM = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}、r=6.9634×108 mr = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}。 ステップ1 — シュバルツシルト比: 2GMrc2=2(6.674×10−11)(1.989×1030)(6.9634×108)(2.998×108)2≈4.24×10−6\frac{2GM}{rc^2} = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}{(6.9634 \times 10^8)(2.998 \times 10^8)^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}rc22GM=(6.9634×108)(2.998×108)22(6.674×10−11)(1.989×1030)≈4.24×10−6 ステップ2 — 遅れの因子: γg=11−4.24×10−6≈1.0000021\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} \approx 1.0000021γg=1−4.24×10−61≈1.0000021 太陽の表面の時計は、遠方の時計に比べておよそ 100 万分の 2 だけ遅れます。一年間で遠方の観測者はおよそ 67 秒余分に記録します。これらの値を計算機に入力すると同じ結果が得られます。 重力場の強さごとの遅れ 天体2GM/rc22GM/rc^2遅れの因子地球の表面1.4×10−91.4 \times 10^{-9}1.0000000007太陽の表面4.2×10−64.2 \times 10^{-6}1.0000021白色矮星の表面∼10−4\sim 10^{-4}∼1.00005\sim 1.00005中性子星の表面∼0.3\sim 0.3∼1.2\sim 1.2 実世界とのつながり 重力による時間の遅れは理論上のものにとどまりません。重力の弱い場所を周回する GPS 衛星は、地上の時計に対して一日あたり約 45 マイクロ秒進みます。これを補正しなければ測位は一日あたり数キロメートルずれてしまいます。パウンド-レブカの実験は 22 メートルの塔にわたってシフトを測定し、今日の原子時計は数十センチメートルの高さの違いでも差を検出します。 制約: 静的で回転しない質量 この計算機は、球対称で回転せず電荷を持たない質量を記述するシュバルツシルト計量を用います。半径はシュバルツシルト半径 2GM/c22GM/c^2 の外側にある必要があります。回転(カー計量)、電荷、特殊相対論の速度による時間の遅れは、ここには含まれない別の効果です。 よくある質問 (FAQ)重力による時間の遅れとは何ですか?重力による時間の遅れはアインシュタインの一般相対性理論が予言する現象で、強い重力場の中では時計がより遅く進みます。大質量天体の近くにある時計は、遠く離れた同一の時計より遅く時を刻みます。効果は t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²) で表され、M は質量、r は中心からの距離、G は重力定数、c は光速です。これは相対運動に依存する特殊相対論の速度による時間の遅れとは別の現象です。 重力による時間の遅れの公式は何ですか?回転しない球対称の質量について、シュバルツシルト解は t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²) を与えます。量 2GM/c² はシュバルツシルト半径です。r がこの半径よりはるかに大きいとき平方根は 1 に近く遅れは小さくなります。r がシュバルツシルト半径に近づくと分母はゼロに近づき、遅れは際限なく大きくなります。因子は常に 1 より大きいので、遠方の観測者は重力の深みにある時計より常に多くの経過時間を記録します。 なぜ GPS 衛星は時間の遅れを補正するのですか?GPS 衛星は地表約 20 000 km 上空を周回し、そこでは重力が弱いため、重力による時間の遅れにより衛星の時計は地上の時計より一日あたり約 45 マイクロ秒速く進みます。軌道速度による特殊相対論的な遅れは一日あたり約 7 マイクロ秒遅らせるので、正味で一日あたりおよそ 38 マイクロ秒の進みが残ります。両方の効果を補正しなければ測位誤差が一日あたり数キロメートルずつ蓄積するので、衛星の時計はあらかじめずらしてあります。 ブラックホールの近くで時間はどうなりますか?物体がブラックホールの事象の地平面 — シュバルツシルト半径にある面 — に近づくにつれ、重力による時間の遅れは極端になります。遠方の観測者には、落下する物体が減速し光が赤方偏移し、地平面で凍りついて決して越えないように見えますが、物体自身は有限の固有時間で越えます。地平面のちょうど上では遅れの因子は発散します。このため、この計算機は半径がシュバルツシルト半径の外側にあることを要求します。
