ホーム 物理 ボーアの原子模型の計算 作成日: 2026年6月17日 17:25 ボーアの原子模型の計算 入力 主量子数1原子番号1 物理 ボーアの原子模型の計算 ボーアの原子模型を使って、水素様原子のエネルギー、軌道半径、電子の速さを計算します。主量子数 n と原子番号 Z を入力すると、E_n、r_n、v_n が求められます。 メートル法 入力 主量子数 ≥ 1 電子の軌道のエネルギー準位 n(1, 2, 3, …)。n = 1 は基底状態で、n が大きいほど軌道は大きく高エネルギーになります。 原子番号 ≥ 1 原子核中の陽子の数 Z。Z = 1 は水素です。この模型は電荷 Z の原子核に電子が一つの水素様イオンを扱います。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 エネルギー準位 eV 準位 n の電子の全エネルギー E_n = −13.6057 eV · Z²/n²。電子が束縛されているため負になり、n が大きくなるとエネルギーはゼロに近づきます。 詳細 軌道半径 nm ボーア軌道の半径 r_n = a₀ · n²/Z。a₀ = 0.0529 nm はボーア半径です。軌道は n² で大きくなり、Z が大きいほど小さくなります。 電子の速さ m/s 電子の軌道速さ v_n = (αc) · Z/n。αc ≈ 2.19 × 10⁶ m/s です。電子は内側の軌道ほど、また Z が大きいほど速く動きます。 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-06-16 ボーアの原子模型 ボーアの原子模型は、水素様原子を、正の原子核のまわりを一つの電子が、許された円軌道の一つに沿って回るものとして記述します。各軌道は固定したエネルギーを持ち、電子は軌道間を飛び移るときにだけ光子を放出または吸収します。1913 年にニールス・ボーアが導入したこの模型は、水素の離散的なスペクトル線を説明した最初の模型でした。 この計算機は、主量子数 nn と原子番号 ZZ を入力すると、エネルギー EnE_n、軌道半径 rnr_n、電子の速さ vnv_n を返します。 模型の仕組み ボーアは、電子の角運動量が量子化されていると仮定し、これが電子を特定の軌道に制限します。各許された軌道は確定した半径、速さ、エネルギーを持ちます。エネルギーが離散的なため、遷移で放出される光子はちょうど二つの準位間のエネルギー差を運びます — これが連続した虹ではなく、原子スペクトルに見られる鋭い線を生みます。 公式 量記号定義エネルギー準位EnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}軌道半径rnr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}電子の速さvnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s} ここで n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots は主量子数、ZZ は原子番号、a0a_0 はボーア半径、α\alpha は微細構造定数です。 計算例 基底状態の水素について、n = 1、Z = 1 とします。 エネルギー: E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eV 半径: r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}r1=a0×112=5.292×10−11 m=0.0529 nm 速さ: v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}v1=αc×11≈2.188×106 m/s 電子は陽子から 0.0529 nm のところにあり、光速のおよそ 0.7% で動き、13.6 eV で束縛されています。 水素のエネルギー準位 準位 nnEnE_n(eV)rnr_n(nm)1−13.610.0532−3.400.2123−1.510.4764−0.850.847∞0∞ 準位は nn が大きくなるにつれて密集し、イオン化の閾値であるゼロに収束します。基底状態(n = 1)と自由電子の間の 13.6 eV の差が、水素のイオン化エネルギーです。 実世界とのつながり ボーアの原子模型は、水素のバルマー系列、ライマン系列、パッシェン系列を説明し、正しいイオン化エネルギーを与えます。同じ公式に適切な ZZ を入れれば、He⁺ や Li²⁺ のような一電子イオンを記述します。原子構造と量子化されたエネルギーの考えへの標準的な入門であり続けています。 制約 ボーアの原子模型は水素様(一電子)系に対してのみ厳密です。多電子原子のスペクトル、微細構造、化学結合を再現せず、確定した軌道は量子の不確定性と矛盾します。完全な量子力学は軌道をオービタルに置き換えますが、水素についてのボーアのエネルギーの公式はそのまま生き残っています。 よくある質問 (FAQ)ボーアの原子模型とは何ですか?1913 年にニールス・ボーアが提唱したボーアの原子模型は、原子を、小さな正の原子核のまわりを電子が固定した円軌道で回る、惑星が太陽を回るのによく似た描像でとらえます。重要な新しい着想は、電子は量子化されたエネルギーを持つ特定の許された軌道だけを占めることができ、これらの軌道間を飛び移るときにだけ光を放出または吸収する、というものでした。この模型は水素のスペクトル線をうまく説明し、主量子数 n を導入して、古典物理と現代量子力学の重要な架け橋となりました。 エネルギー準位はどのように計算されますか?ボーアの原子模型では、水素様原子の準位 n のエネルギーは E_n = −13.6057 eV × Z²/n² で、Z は原子番号、n は主量子数です。水素(Z = 1)では基底状態(n = 1)が E₁ = −13.6 eV、第一励起状態(n = 2)が E₂ = −3.40 eV、という具合です。電子が原子核に束縛されているためエネルギーは負になります。エネルギーがゼロの電子はかろうじて自由な状態です。基底状態の電子を完全に取り除くのに必要なエネルギー — 水素では 13.6 eV — がイオン化エネルギーです。 ボーア半径とは何ですか?ボーア半径 a₀ ≈ 5.29 × 10⁻¹¹ m(0.0529 nm)は水素で最も小さい軌道の半径で、n = 1、Z = 1 に対応します。他のどのボーア軌道の半径も r_n = a₀ × n²/Z です。軌道は n とともに急速に大きくなり(n = 2 の軌道は n = 1 の四倍大きい)、原子核の電荷 Z が増えると小さくなります。強い引力が電子をより近くに保つからです。ボーア半径は今日でも原子物理の標準的な長さの尺度です。 ボーアの原子模型の限界は何ですか?ボーアの原子模型は水素や他の一電子(水素様)イオンに対してのみよく機能します。多電子原子のスペクトル、スペクトル線の微細構造や相対強度、化学結合の形を正確に予言することはできません。電子が確定した円軌道を回るという描像も、ハイゼンベルクの不確定性原理と矛盾します。現代の量子力学は軌道を、オービタルと呼ばれる三次元の確率分布に置き換えますが、水素についてのボーアのエネルギー準位の公式は今なお厳密で、貴重な教育ツールであり続けています。 次のおすすめ リュードベリの式 計算機 電子遷移の 2 つのエネルギー準位から、水素のスペクトル線の波長・振動数・光子エネルギーを求めます。下準位と上準位の主量子数 n₁、n₂ を入力すると、ライマン系列・バルマー系列・パッシェン系列の線が得られます。 詳しく解説光子エネルギーの計算 E = h·f = h·c/λ を使って、波長または振動数から光子1個のエネルギーを計算します。波長をナノメートル、振動数をヘルツで入力すると、エレクトロンボルトまたはジュールで結果を表示します。 詳しく解説ド・ブロイ波長の計算 λ = h/(m·v) を使って、粒子の質量と速度からド・ブロイ波長を計算します。質量をキログラム、速度を毎秒メートルで入力すると、物質波の波長と運動量を求めます。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 現代物理の他の計算 コンプトン散乱の計算ド・ブロイ波長の計算ハイゼンベルクの不確定性原理の計算ボーアの原子模型の計算ローレンツ収縮(長さの収縮)の計算井戸型ポテンシャル(箱の中の粒子)の計算 +11 more Show less 核結合エネルギーの計算光子エネルギーの計算光電効果の計算時間の遅れの計算質量エネルギー等価の計算重力による時間の遅れの計算重力赤方偏移の計算相対論的エネルギーの計算相対論的ドップラー効果の計算相対論的運動量の計算相対論的速度の合成の計算 物理の他のカテゴリ 運動学 ニュートンの運動方程式（F＝ma）の計算斜面上の放物運動・軌道計算放物運動：最高高度と射程から初速度・発射角度を計算放物運動：射程と発射角度からの初速度放物運動：標的に当てる発射角度放物運動計算力学 カーブのバンク角の計算ケプラーの第三法則による公転周期の計算ドップラー効果の計算トルクと動力の計算トルクの計算フックの法則の計算ヤング率の計算レイノルズ数の計算圧力の計算運動量と力積の計算音速の計算回転運動エネルギーの計算回転運動学の計算角運動量の計算慣性モーメントの計算弦を伝わる波の速さの計算向心力の計算抗力の計算仕事・仕事率の計算自由落下の計算質量密度の計算斜面の物体にはたらく力の計算終端速度の計算出力重量比の計算静水圧の計算脱出速度の計算単振り子の計算転がり運動の運動エネルギーの計算等加速度運動の計算動圧の計算浮力の計算摩擦力の計算万有引力の計算エネルギー ウィーンの変位則の計算エネルギー効率の計算カルノー効率の計算シュテファン＝ボルツマンの法則の計算運動エネルギーの計算混合後の平衡温度の計算重力による位置エネルギーの計算潜熱の計算二乗平均平方根速度の計算熱伝導の計算熱膨張の計算比熱の計算電磁気 555 タイマー非安定動作の計算LC共振周波数の計算LED 直列抵抗の計算RC フィルタのカットオフ周波数の計算RC時定数の計算RLC インピーダンスの計算RLC 回路の Q 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最終更新: 2026-06-16 ボーアの原子模型 ボーアの原子模型は、水素様原子を、正の原子核のまわりを一つの電子が、許された円軌道の一つに沿って回るものとして記述します。各軌道は固定したエネルギーを持ち、電子は軌道間を飛び移るときにだけ光子を放出または吸収します。1913 年にニールス・ボーアが導入したこの模型は、水素の離散的なスペクトル線を説明した最初の模型でした。 この計算機は、主量子数 nn と原子番号 ZZ を入力すると、エネルギー EnE_n、軌道半径 rnr_n、電子の速さ vnv_n を返します。 模型の仕組み ボーアは、電子の角運動量が量子化されていると仮定し、これが電子を特定の軌道に制限します。各許された軌道は確定した半径、速さ、エネルギーを持ちます。エネルギーが離散的なため、遷移で放出される光子はちょうど二つの準位間のエネルギー差を運びます — これが連続した虹ではなく、原子スペクトルに見られる鋭い線を生みます。 公式 量記号定義エネルギー準位EnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}軌道半径rnr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}電子の速さvnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s} ここで n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots は主量子数、ZZ は原子番号、a0a_0 はボーア半径、α\alpha は微細構造定数です。 計算例 基底状態の水素について、n = 1、Z = 1 とします。 エネルギー: E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eV 半径: r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}r1=a0×112=5.292×10−11 m=0.0529 nm 速さ: v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}v1=αc×11≈2.188×106 m/s 電子は陽子から 0.0529 nm のところにあり、光速のおよそ 0.7% で動き、13.6 eV で束縛されています。 水素のエネルギー準位 準位 nnEnE_n(eV)rnr_n(nm)1−13.610.0532−3.400.2123−1.510.4764−0.850.847∞0∞ 準位は nn が大きくなるにつれて密集し、イオン化の閾値であるゼロに収束します。基底状態(n = 1)と自由電子の間の 13.6 eV の差が、水素のイオン化エネルギーです。 実世界とのつながり ボーアの原子模型は、水素のバルマー系列、ライマン系列、パッシェン系列を説明し、正しいイオン化エネルギーを与えます。同じ公式に適切な ZZ を入れれば、He⁺ や Li²⁺ のような一電子イオンを記述します。原子構造と量子化されたエネルギーの考えへの標準的な入門であり続けています。 制約 ボーアの原子模型は水素様(一電子)系に対してのみ厳密です。多電子原子のスペクトル、微細構造、化学結合を再現せず、確定した軌道は量子の不確定性と矛盾します。完全な量子力学は軌道をオービタルに置き換えますが、水素についてのボーアのエネルギーの公式はそのまま生き残っています。 よくある質問 (FAQ)ボーアの原子模型とは何ですか?1913 年にニールス・ボーアが提唱したボーアの原子模型は、原子を、小さな正の原子核のまわりを電子が固定した円軌道で回る、惑星が太陽を回るのによく似た描像でとらえます。重要な新しい着想は、電子は量子化されたエネルギーを持つ特定の許された軌道だけを占めることができ、これらの軌道間を飛び移るときにだけ光を放出または吸収する、というものでした。この模型は水素のスペクトル線をうまく説明し、主量子数 n を導入して、古典物理と現代量子力学の重要な架け橋となりました。 エネルギー準位はどのように計算されますか?ボーアの原子模型では、水素様原子の準位 n のエネルギーは E_n = −13.6057 eV × Z²/n² で、Z は原子番号、n は主量子数です。水素(Z = 1)では基底状態(n = 1)が E₁ = −13.6 eV、第一励起状態(n = 2)が E₂ = −3.40 eV、という具合です。電子が原子核に束縛されているためエネルギーは負になります。エネルギーがゼロの電子はかろうじて自由な状態です。基底状態の電子を完全に取り除くのに必要なエネルギー — 水素では 13.6 eV — がイオン化エネルギーです。 ボーア半径とは何ですか?ボーア半径 a₀ ≈ 5.29 × 10⁻¹¹ m(0.0529 nm)は水素で最も小さい軌道の半径で、n = 1、Z = 1 に対応します。他のどのボーア軌道の半径も r_n = a₀ × n²/Z です。軌道は n とともに急速に大きくなり(n = 2 の軌道は n = 1 の四倍大きい)、原子核の電荷 Z が増えると小さくなります。強い引力が電子をより近くに保つからです。ボーア半径は今日でも原子物理の標準的な長さの尺度です。 ボーアの原子模型の限界は何ですか?ボーアの原子模型は水素や他の一電子(水素様)イオンに対してのみよく機能します。多電子原子のスペクトル、スペクトル線の微細構造や相対強度、化学結合の形を正確に予言することはできません。電子が確定した円軌道を回るという描像も、ハイゼンベルクの不確定性原理と矛盾します。現代の量子力学は軌道を、オービタルと呼ばれる三次元の確率分布に置き換えますが、水素についてのボーアのエネルギー準位の公式は今なお厳密で、貴重な教育ツールであり続けています。
