最終更新: 2026-06-16

相対論的速度の合成

相対論的速度の合成は、少なくとも一方が光速 $c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ のかなりの割合に達するときに、二つの速さを組み合わせる規則です。走る列車から前方へ投げたボールの速さが単に列車の速さに足し合わさる、という日常的な直感は、光速近くでは破綻します。なぜなら光速はどの観測者にとっても同じでなければならないからです。特殊相対論は、合成された速さを常に $c$ 未満に保つ公式を与えます。

この計算機は、同じ線に沿った二つの速度 $u$ と $v$ を入力すると、合成速度 $w$ と、それを光速に対する割合で表した値 $\beta = w/c$ を返します。

仕組み

ある系が基準となる観測者に対して速さ $u$ で運動し、物体がその系に対して速さ $v$ で、いずれも同じ向きに運動しているとします。基準となる観測者に対する物体の速さは $u + v$ ではなく、

$$w = \frac{u + v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}$$

となります。この余分な分母が、結果が決して $c$ を超えないようにしています。$u$ と $v$ が $c$ に比べてごく小さいとき、項 $uv/c^2$ は無視でき、公式はおなじみの $w \approx u + v$ に帰着します。

公式

量	記号	定義
一つ目の速度	$u$	観測者に対する系の速さ
二つ目の速度	$v$	系に対する物体の速さ
合成速度	$w$	$w = \dfrac{u + v}{1 + uv/c^2}$
$c$ に対する割合	$\beta$	$\beta = w / c$
光速	$c$	$299\,792\,458\ \text{m/s}$(厳密値)

$v = c$ のとき公式は任意の $u$ に対して $w = c$ を与えます。光速は不変です。

計算例

二つの物体がそれぞれ u = v = 0.75c で同じ線に沿って運動しているとします。

ステップ1 — 分子:

$$u + v = 0.75c + 0.75c = 1.5c$$

ステップ2 — 分母:

$$1 + \frac{uv}{c^2} = 1 + \frac{(0.75c)(0.75c)}{c^2} = 1 + 0.5625 = 1.5625$$

ステップ3 — 合成速度:

$$w = \frac{1.5c}{1.5625} = 0.96c$$

単純な足し算なら 1.5c となるはずですが、相対論的な結果はわずか 0.96c で、依然として光速未満です。これらの値を計算機に入力すると同じ結果が得られます。

等しい速さの合成

それぞれの速さ	単純な和	相対論的 $w$
0.1c	0.2c	0.198c
0.3c	0.6c	0.550c
0.5c	1.0c	0.800c
0.75c	1.5c	0.960c
0.9c	1.8c	0.994c
0.99c	1.98c	0.99995c

実世界とのつながり

速度の合成規則は素粒子物理で日々確かめられており、高速で運動する源から放出される粒子は、速さがどう組み合わさっても決して $c$ を超えません。これは相対論的ドップラー効果や星の光の年周光行差の基礎でもあり、動く水中での光速に関する古典的なフィゾーの実験を説明します。この結果は、相対論が明快な説明を与えるまで何十年も物理学者を悩ませました。

制約: 特殊相対論における同一直線上の運動

この計算機は慣性系における一本の線に沿った速さを扱います。二つの速度が平行でない場合、合成はもっと込み入っており、結果は向きに依存します。これにはトーマス歳差として知られる相対論的な回転効果も含まれます。一本の線に沿った運動では、ここでの公式は厳密です。

よくある質問 (FAQ)

なぜ二つの速度を単純に足せないのですか?

日常生活で速度の足し算が成り立つのは、速さが光速に比べてごく小さいからです。しかし光速はどの観測者にとっても同じなので、単純な足し算では合成速度が c を超えてしまい、それは不可能です。特殊相対論は単純な足し算を w = (u + v) / (1 + uv/c²) に置き換えます。分母は速さが増えるにつれて大きくなり、結果を c 未満に保ちます。おなじみの w = u + v はこの厳密な公式の低速極限にすぎません。

相対論的速度の合成公式とは何ですか?

一本の線に沿った運動では、合成速度は w = (u + v) / (1 + uv/c²) で、u と v は二つの速さ、c は光速です。uv が c² に比べて小さいとき分母は 1 に近く、公式は通常の w ≈ u + v に帰着します。いずれかの速さが c に近づくと、分母は w を c 未満に保つのにちょうど足るだけ大きくなります。

一方の速さが光速だとどうなりますか?

v = c のとき公式は、任意の u に対して w = (u + c) / (1 + uc/c²) = (u + c) / (1 + u/c) = c を与えます。言い換えれば、ある系で速さ c と測定された光は、ほかのどの系でも c と測定されます。これはまさに特殊相対論が拠って立つ要請です。この計算機は入力を c 未満の速さに制限しています。物質的な物体は光速に到達できないからですが、公式自体はこの極限で c の不変性を再現します。

なぜ車や飛行機では通常の速度の足し算がまだ成り立つのですか?

日常的な速さでは補正項 uv/c² が天文学的に小さいからです。互いに時速 100 km で近づく二台の車では uv/c² がおよそ 10⁻¹⁴ で、相対論的な結果は単純な和である時速 200 km と、どんな計器でも検出できないほどわずかしか違いません。相対論的な公式が単純な足し算から目立って外れるのは、速さが光速のかなりの割合になったときだけです。