ホーム 物理 井戸型ポテンシャル(箱の中の粒子)の計算 作成日: 2026年6月17日 17:25 井戸型ポテンシャル(箱の中の粒子)の計算 入力 量子数1粒子の質量9.1094e-31 kg箱の長さ1 nm 物理 井戸型ポテンシャル(箱の中の粒子)の計算 一次元の無限井戸型ポテンシャル中の粒子の量子化されたエネルギー準位を計算します。量子数、粒子の質量、箱の長さを入力すると、エネルギー Eₙ と定在波のド・ブロイ波長が求められます。 メートル法 入力 量子数 ≥ 1 エネルギー準位の指数 n = 1, 2, 3, …。最も低い準位(基底状態)は n = 1 で、それより大きい整数が励起状態を表します。 粒子の質量 kg 閉じ込められた粒子の質量。既定値は電子の質量 9.109 × 10⁻³¹ kg です。重い粒子ほどエネルギー準位の間隔が狭くなります。 箱の長さ nm 粒子が閉じ込められる一次元の井戸の幅 L。箱が狭いほどエネルギー準位は高く、間隔が広くなります。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 エネルギー準位 eV 量子化されたエネルギー Eₙ = n²h² / (8mL²)。これらの離散的な値だけが許されます。粒子は隣り合う準位の間のエネルギーを持つことは決してできません。 詳細 波長 nm 準位 n の定在波のド・ブロイ波長 λ = 2L / n。箱の長さにはちょうど n 個の半波長が収まり、両端の壁に節があります。 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-06-16 箱の中の粒子 箱の中の粒子は、無限井戸型ポテンシャルとも呼ばれ、量子力学で最初に厳密に解ける問題の一つです。一つの粒子が、決して脱出できないほど高い壁によって長さ LL の一次元の領域に閉じ込められます。その制約のもとでシュレーディンガー方程式を解くと、粒子のエネルギーは任意の値をとることができず、離散的な梯子状の準位に制限されることが明らかになります。 この計算機は、量子数 nn、粒子の質量 mm、箱の長さ LL を入力すると、その準位のエネルギー EnE_n と、対応する定在波のド・ブロイ波長 λn\lambda_n を返します。 模型の仕組み 粒子は決して箱の外に見つからないため、その波動関数は両端の壁でゼロに落ちなければなりません。この境界条件は、両端を固定した弦の条件と同じです。長さ LL に整数個の半波長が収まる定在波だけが生き残ります。各許された定在波は確定した運動量を、したがって確定したエネルギーを運びます。他のすべての波長は禁じられ、これがまさにエネルギーが量子化される理由です。 最も低い準位 n = 1 は基底状態です。これはゼロでないエネルギーを持ち — 粒子は決して完全に静止できません — これは零点エネルギーの最も単純な実例です。 公式 量記号定義エネルギー準位EnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}量子数nnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dotsド・ブロイ波長λn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}プランク定数hh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s}(厳密値) EnE_n が n2n^2 でスケールするため、準位は nn が大きくなるにつれて離れていきます: E2=4E1E_2 = 4E_1、E3=9E1E_3 = 9E_1、という具合です。箱を狭めるか質量を下げると、すべての準位が高くなります。 計算例 電子(m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg})が、長さ L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} の箱に基底状態 n = 1 で閉じ込められているとします。 ステップ1 — エネルギー: E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}E1=8(9.109×10−31)(1×10−9)2(1)2(6.626×10−34)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eV ステップ2 — 波長: λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}λ1=n2L=12(1×10−9)=2×10−9 m=2 nm 一つの半波長が箱の全幅にわたり、各壁に節があります。これらの値を計算機に入力すると同じ結果が得られます。 エネルギー準位の一覧 量子数 nn基底状態に対するエネルギー箱の中の半波長の数1E1E_1124E14E_1239E19E_13416E116E_14 実世界とのつながり 理想化されているとはいえ、箱の中の粒子は、電子が小さな領域に閉じ込められるときには驚くほどよい見積もりを与えます。共役分子の色素の色の傾向、量子ドットやナノ結晶の調整可能な吸収、狭い半導体井戸中の電子のエネルギー間隔を予言します。教育ツールとしては、量子化、零点エネルギー、境界条件の中心的な役割を導入します。 制約: 理想化された壁 この模型は無限に高い壁と完全に一次元の領域を仮定するので、粒子は厳密に閉じ込められ決してトンネルしません。実在の井戸は有限の深さを持ち、波動関数のいくらかの漏れを許してエネルギーをわずかに下げます。最初の見積もりや閉じ込めの物理を理解するためには、無限井戸型ポテンシャルは標準的な出発点であり続けます。 よくある質問 (FAQ)箱の中の粒子の模型とは何ですか?箱の中の粒子(または無限井戸型ポテンシャル)は量子力学の基礎的な模型です。粒子は長さ L の一次元の領域に、決して脱出できないほど高い壁で閉じ込められます。この状況についてシュレーディンガー方程式を解くと、粒子は任意のエネルギーを持てず、Eₙ = n²h² / (8mL²) という離散的な梯子状の値だけが許されることがわかります。n は正の整数、h はプランク定数、m は質量です。この模型は厳密に解けるほど単純でありながら、閉じ込めがエネルギーの量子化につながるという量子の本質的な特徴をとらえています。 エネルギー準位の公式は何ですか?許されるエネルギーは Eₙ = n²h² / (8mL²) で、n = 1, 2, 3, … は量子数、h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s はプランク定数、m は粒子の質量、L は箱の幅です。エネルギーが n² でスケールするため、準位は n が大きくなるにつれて離れていきます: E₂ = 4E₁、E₃ = 9E₁、という具合です。対応する定在波はド・ブロイ波長 λ = 2L / n を持ち、壁の間にちょうど n 個の半波長が収まります。 なぜエネルギーは量子化されるのですか?波動関数は箱の両端の壁でゼロにならなければなりません。粒子は決して箱の外に見つからないからです。この境界条件は、両端を固定した振動する弦の条件と同じです。長さ L に整数個の半波長が収まる定在波だけが許されます。各許された波は特定の運動量に、したがって特定のエネルギーに対応します。中間の波長をすべて禁じることが、エネルギーを連続的な範囲ではなく離散的な梯子に強いるのです。 この模型はどこで使われますか?単純さにもかかわらず、箱の中の粒子は、電子が小さな領域に閉じ込められた実在の系について有用な見積もりを与えます。共役分子の色素の色、量子ドットやナノ結晶の吸収、狭い半導体井戸中の電子のふるまいをモデル化します。また、量子化、零点エネルギー、量子力学における境界条件の役割を教える標準的な最初の例でもあります。 次のおすすめ ド・ブロイ波長の計算 λ = h/(m·v) を使って、粒子の質量と速度からド・ブロイ波長を計算します。質量をキログラム、速度を毎秒メートルで入力すると、物質波の波長と運動量を求めます。 詳しく解説ハイゼンベルクの不確定性原理の計算 ハイゼンベルクの不確定性原理から運動量と速度の最小不確定性を計算します。位置の不確定性 Δx と粒子の質量を入力すると、Δx·Δp ≥ ħ/2 から Δp と Δv が求められます。 詳しく解説ボーアの原子模型の計算 ボーアの原子模型を使って、水素様原子のエネルギー、軌道半径、電子の速さを計算します。主量子数 n と原子番号 Z を入力すると、E_n、r_n、v_n が求められます。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 現代物理の他の計算 コンプトン散乱の計算ド・ブロイ波長の計算ハイゼンベルクの不確定性原理の計算ボーアの原子模型の計算ローレンツ収縮(長さの収縮)の計算井戸型ポテンシャル(箱の中の粒子)の計算 +11 more Show less 核結合エネルギーの計算光子エネルギーの計算光電効果の計算時間の遅れの計算質量エネルギー等価の計算重力による時間の遅れの計算重力赤方偏移の計算相対論的エネルギーの計算相対論的ドップラー効果の計算相対論的運動量の計算相対論的速度の合成の計算 物理の他のカテゴリ 運動学 ニュートンの運動方程式（F＝ma）の計算斜面上の放物運動・軌道計算放物運動：最高高度と射程から初速度・発射角度を計算放物運動：射程と発射角度からの初速度放物運動：標的に当てる発射角度放物運動計算力学 カーブのバンク角の計算ケプラーの第三法則による公転周期の計算ドップラー効果の計算トルクと動力の計算トルクの計算フックの法則の計算ヤング率の計算レイノルズ数の計算圧力の計算運動量と力積の計算音速の計算回転運動エネルギーの計算回転運動学の計算角運動量の計算慣性モーメントの計算弦を伝わる波の速さの計算向心力の計算抗力の計算仕事・仕事率の計算自由落下の計算質量密度の計算斜面の物体にはたらく力の計算終端速度の計算出力重量比の計算静水圧の計算脱出速度の計算単振り子の計算転がり運動の運動エネルギーの計算等加速度運動の計算動圧の計算浮力の計算摩擦力の計算万有引力の計算エネルギー ウィーンの変位則の計算エネルギー効率の計算カルノー効率の計算シュテファン＝ボルツマンの法則の計算運動エネルギーの計算混合後の平衡温度の計算重力による位置エネルギーの計算潜熱の計算二乗平均平方根速度の計算熱伝導の計算熱膨張の計算比熱の計算電磁気 555 タイマー非安定動作の計算LC共振周波数の計算LED 直列抵抗の計算RC フィルタのカットオフ周波数の計算RC時定数の計算RLC インピーダンスの計算RLC 回路の Q 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最終更新: 2026-06-16 箱の中の粒子 箱の中の粒子は、無限井戸型ポテンシャルとも呼ばれ、量子力学で最初に厳密に解ける問題の一つです。一つの粒子が、決して脱出できないほど高い壁によって長さ LL の一次元の領域に閉じ込められます。その制約のもとでシュレーディンガー方程式を解くと、粒子のエネルギーは任意の値をとることができず、離散的な梯子状の準位に制限されることが明らかになります。 この計算機は、量子数 nn、粒子の質量 mm、箱の長さ LL を入力すると、その準位のエネルギー EnE_n と、対応する定在波のド・ブロイ波長 λn\lambda_n を返します。 模型の仕組み 粒子は決して箱の外に見つからないため、その波動関数は両端の壁でゼロに落ちなければなりません。この境界条件は、両端を固定した弦の条件と同じです。長さ LL に整数個の半波長が収まる定在波だけが生き残ります。各許された定在波は確定した運動量を、したがって確定したエネルギーを運びます。他のすべての波長は禁じられ、これがまさにエネルギーが量子化される理由です。 最も低い準位 n = 1 は基底状態です。これはゼロでないエネルギーを持ち — 粒子は決して完全に静止できません — これは零点エネルギーの最も単純な実例です。 公式 量記号定義エネルギー準位EnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}量子数nnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dotsド・ブロイ波長λn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}プランク定数hh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s}(厳密値) EnE_n が n2n^2 でスケールするため、準位は nn が大きくなるにつれて離れていきます: E2=4E1E_2 = 4E_1、E3=9E1E_3 = 9E_1、という具合です。箱を狭めるか質量を下げると、すべての準位が高くなります。 計算例 電子(m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg})が、長さ L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} の箱に基底状態 n = 1 で閉じ込められているとします。 ステップ1 — エネルギー: E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}E1=8(9.109×10−31)(1×10−9)2(1)2(6.626×10−34)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eV ステップ2 — 波長: λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}λ1=n2L=12(1×10−9)=2×10−9 m=2 nm 一つの半波長が箱の全幅にわたり、各壁に節があります。これらの値を計算機に入力すると同じ結果が得られます。 エネルギー準位の一覧 量子数 nn基底状態に対するエネルギー箱の中の半波長の数1E1E_1124E14E_1239E19E_13416E116E_14 実世界とのつながり 理想化されているとはいえ、箱の中の粒子は、電子が小さな領域に閉じ込められるときには驚くほどよい見積もりを与えます。共役分子の色素の色の傾向、量子ドットやナノ結晶の調整可能な吸収、狭い半導体井戸中の電子のエネルギー間隔を予言します。教育ツールとしては、量子化、零点エネルギー、境界条件の中心的な役割を導入します。 制約: 理想化された壁 この模型は無限に高い壁と完全に一次元の領域を仮定するので、粒子は厳密に閉じ込められ決してトンネルしません。実在の井戸は有限の深さを持ち、波動関数のいくらかの漏れを許してエネルギーをわずかに下げます。最初の見積もりや閉じ込めの物理を理解するためには、無限井戸型ポテンシャルは標準的な出発点であり続けます。 よくある質問 (FAQ)箱の中の粒子の模型とは何ですか?箱の中の粒子(または無限井戸型ポテンシャル)は量子力学の基礎的な模型です。粒子は長さ L の一次元の領域に、決して脱出できないほど高い壁で閉じ込められます。この状況についてシュレーディンガー方程式を解くと、粒子は任意のエネルギーを持てず、Eₙ = n²h² / (8mL²) という離散的な梯子状の値だけが許されることがわかります。n は正の整数、h はプランク定数、m は質量です。この模型は厳密に解けるほど単純でありながら、閉じ込めがエネルギーの量子化につながるという量子の本質的な特徴をとらえています。 エネルギー準位の公式は何ですか?許されるエネルギーは Eₙ = n²h² / (8mL²) で、n = 1, 2, 3, … は量子数、h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s はプランク定数、m は粒子の質量、L は箱の幅です。エネルギーが n² でスケールするため、準位は n が大きくなるにつれて離れていきます: E₂ = 4E₁、E₃ = 9E₁、という具合です。対応する定在波はド・ブロイ波長 λ = 2L / n を持ち、壁の間にちょうど n 個の半波長が収まります。 なぜエネルギーは量子化されるのですか?波動関数は箱の両端の壁でゼロにならなければなりません。粒子は決して箱の外に見つからないからです。この境界条件は、両端を固定した振動する弦の条件と同じです。長さ L に整数個の半波長が収まる定在波だけが許されます。各許された波は特定の運動量に、したがって特定のエネルギーに対応します。中間の波長をすべて禁じることが、エネルギーを連続的な範囲ではなく離散的な梯子に強いるのです。 この模型はどこで使われますか?単純さにもかかわらず、箱の中の粒子は、電子が小さな領域に閉じ込められた実在の系について有用な見積もりを与えます。共役分子の色素の色、量子ドットやナノ結晶の吸収、狭い半導体井戸中の電子のふるまいをモデル化します。また、量子化、零点エネルギー、量子力学における境界条件の役割を教える標準的な最初の例でもあります。
