Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Test del chi-quadrato di indipendenza

Il test del chi-quadrato di indipendenza chiede se due variabili categoriali misurate sugli stessi soggetti siano correlate o indipendenti. I dati vivono in una tabella di contingenza: ogni cella contiene il numero di osservazioni che ricadono in una combinazione di categorie — per una tabella 2×2, due categorie per variabile. Il test confronta le frequenze effettivamente osservate con quelle attese se le due variabili non avessero relazione, e restituisce una statistica, i suoi gradi di libertà e un valore p. È lo strumento standard per domande come: un trattamento è associato a un esito, una preferenza dipende dall'appartenenza a un gruppo, oppure due risposte di un sondaggio si muovono insieme?

Frequenze attese sotto indipendenza

Se due variabili sono indipendenti, la proporzione del campione in una riga non dovrebbe dipendere da quale colonna si guarda. Questo fissa ciò che ogni cella dovrebbe contenere. La frequenza attesa di una cella è il suo totale di riga per il suo totale di colonna, diviso per il totale complessivo:

$E_{ij} = \frac{(\text{totale riga } i)\,(\text{totale colonna } j)}{N}$

dove $N$ è il numero totale di osservazioni. È semplicemente la frazione del campione nella riga $i$ moltiplicata per la frazione nella colonna $j$, riportata alla scala di $N$. È fondamentale che le frequenze attese provengano dai margini della tabella stessa — non le fornisci tu, ed è ciò che separa questo test da quello di bontà di adattamento.

La statistica

Il test riassume la distanza tra osservazione e attesa con la statistica di Pearson:

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

sommata su ogni cella, dove $O$ è una frequenza osservata ed $E$ la sua frequenza attesa. Ogni scarto al quadrato è diviso per la frequenza attesa, così che uno scostamento di dieci pesa molto quando se ne attendevano cinque ma poco quando se ne attendevano cinquemila. La somma dà un solo numero che cresce man mano che la tabella si allontana dall'indipendenza. Quando le frequenze osservate eguagliano esattamente quelle attese, ogni termine è zero e $\chi^2 = 0$.

Per una tabella 2×2 l'intera somma si riduce a una compatta scorciatoia algebrica. Etichettando le celle come

la statistica vale

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

I quattro fattori al denominatore sono i due totali di riga e i due totali di colonna. Il termine di prodotto incrociato $ad - bc$ misura quanto la tabella si discosta dalla proporzionalità: è nullo esattamente quando le righe sono proporzionali, ovvero nel caso di indipendenza perfetta.

Gradi di libertà e valore p

La statistica è confrontata con una distribuzione chi-quadrato la cui forma è fissata dai suoi gradi di libertà. Per una tabella di contingenza,

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

dove $r$ è il numero di righe e $c$ quello di colonne. Una tabella 2×2 ha quindi un grado di libertà. Intuitivamente, una volta fissati i totali di riga e di colonna, riempire una sola cella determina tutte le altre, per cui solo una cella è libera di variare.

Il valore p è la probabilità della coda superiore — la possibilità di osservare una statistica almeno grande quanto quella osservata se le due variabili fossero indipendenti. Il test è intrinsecamente unilaterale nella coda superiore: solo grandi valori di $\chi^2$ segnalano un'associazione, mentre valori piccoli indicano che la tabella è vicina all'indipendenza. Confronta il valore p con un livello di significatività $\alpha$ (comunemente cinque per cento). Quando $p < \alpha$, lo scostamento dall'indipendenza è maggiore di quanto il rumore campionario spieghi comodamente, e concludi che le variabili sono associate. Quando $p \ge \alpha$, i dati sono compatibili con l'indipendenza — il che non equivale a dimostrare che le variabili siano scorrelate.

Esempio svolto

Supponiamo che una clinica registri se i pazienti sono guariti sotto due trattamenti:

Qui $a = 30$, $b = 10$, $c = 20$, $d = 40$ e $N = 100$. Usando la scorciatoia,

Con una tabella 2×2 il test ha un grado di libertà. Il valore p della coda superiore per $\chi^2 \approx 16.667$ a un grado di libertà è circa $0.0000446$. Poiché $p \lt 0.01$, c'è una prova forte che la guarigione sia associata al trattamento: i pazienti con il Trattamento A sono guariti molto più spesso di quanto l'indipendenza prevederebbe.

Assunzioni

L'approssimazione chi-quadrato poggia su alcune condizioni. Le frequenze attese dovrebbero essere ragionevolmente grandi — una regola pratica comune richiede che ogni frequenza attesa sia almeno 5. Per una tabella 2×2 con frequenze attese piccole, applica la correzione di continuità di Yates o passa al test esatto di Fisher. Le osservazioni devono essere indipendenti, ogni soggetto contato una volta e ricadente in esattamente una cella, per cui il test non si applica a misure appaiate o ripetute (usa il test di McNemar in tali casi). Infine, il test lavora su frequenze grezze, non su percentuali o proporzioni: converti eventuali tassi in frequenze prima di inserirli.

Per confrontare una variabile categoriale con una distribuzione ipotizzata fissa invece di due variabili tra loro, vedi il Test del chi quadrato di bontà di adattamento; per convertire una statistica z in una probabilità di coda, vedi Calcolatore del valore p dal punteggio Z.