Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Lunghezza dell'arco

La lunghezza dell'arco è la distanza misurata lungo un arco di cerchio tra due punti. Dipende da due grandezze: il raggio r del cerchio e l'angolo al centro θ. Il concetto ricorre in geometria, ingegneria, architettura e nei programmi di matematica delle scuole superiori.

Questo calcolatore ricava tre valori da r e θ:

• Lunghezza dell'arco s — distanza curva lungo la circonferenza
• Lunghezza della corda c — distanza in linea retta tra i due estremi
• Frazione della circonferenza f — quale parte del cerchio intero rappresenta l'arco

La formula della lunghezza dell'arco

$s = r \cdot \theta$

θ deve essere espresso in radianti. La formula segue dalla definizione del radiante: un radiante è l'angolo che sottende un arco pari in lunghezza al raggio.

Derivazione

La circonferenza completa è 2πr (per θ = 2π radianti). La frazione θ/(2π) del cerchio dà:

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

L'uscita «Frazione della Circonferenza» f = θ/(2π) deriva direttamente da qui.

Angoli in gradi

Gli angoli sono spesso espressi in gradi. La conversione in radianti è:

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{gradi}} \times \frac{\pi}{180}$

Oppure direttamente:

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{gradi}}}{360}$

Esempio: r = 8 m, θ = 135°

• Conversione: 135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2,356 rad
• Lunghezza dell'arco: s = 8 × 2,356 ≈ 18,85 m
• Frazione: 135/360 = 0,375 (tre ottavi del cerchio)

Questo calcolatore accetta i gradi direttamente, senza conversione manuale.

Lunghezza della corda

La corda è il segmento che unisce i due estremi dell'arco ed è sempre più corta dell'arco stesso:

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Esempio: r = 10 m, θ = 90° (π/2 rad)

Grandezza	Formula	Valore
Lunghezza dell'arco s	10 × π/2	≈ 15,71 m
Lunghezza della corda c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14,14 m
Frazione f	90 / 360	= 0,25

L'arco è circa l'11% più lungo della corda in questo caso.

Angoli particolari

Angolo al centro	Lunghezza dell'arco	Lunghezza della corda	Nota
60°	πr/3	r	Corda = raggio (triangolo equilatero)
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	Quarto di cerchio
180°	πr	2r	Corda = diametro
360°	2πr	0	Circonferenza intera; estremi coincidenti

Domande frequenti (FAQ)

Come si calcola la lunghezza di un arco di cerchio?

La lunghezza dell'arco s si calcola con s = r · θ, dove θ è in radianti. Con raggio 5 m e angolo 2 radianti, s = 10 m. La formula deriva direttamente dalla definizione del radiante: un radiante è l'angolo che sottende un arco pari al raggio. Se l'angolo è in gradi, converti prima: θ_rad = θ_gradi × π / 180.

Come calcolare la lunghezza dell'arco con i gradi?

Usa s = 2πr × (θ° / 360), oppure converti prima in radianti. Esempio: r = 10 m, θ = 90° → s = 2π × 10 × 0,25 = 5π ≈ 15,71 m. Questo calcolatore accetta i gradi direttamente, senza conversione manuale.

Qual è la differenza tra lunghezza dell'arco e lunghezza della corda?

La lunghezza dell'arco s = r · θ è la distanza curva lungo il cerchio tra due punti; la corda c = 2r · sin(θ/2) è la distanza in linea retta fra gli stessi punti. La corda è sempre minore o uguale all'arco. Per r = 10 m e θ = 90°: arco ≈ 15,71 m, corda = 10√2 ≈ 14,14 m. A θ = 180°, la corda eguaglia il diametro 2r.

Che relazione c'è tra lunghezza dell'arco e circonferenza?

La circonferenza C = 2πr è la lunghezza dell'arco del cerchio completo (θ = 2π radianti = 360°). Ogni arco è una frazione della circonferenza: s = C × (θ / 2π). L'uscita 'Frazione della Circonferenza' f = θ / 2π lo indica direttamente: f = 0,25 corrisponde a un quarto di cerchio.