Ultimo aggiornamento: 2026-05-22

Definizione

Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) è un indice adimensionale compreso tra −1 e +1 che misura la direzione e l'intensità della relazione lineare tra due variabili numeriche. Un valore di +1 indica che i punti cadono esattamente su una retta con pendenza positiva; −1 che cadono su una retta con pendenza negativa; 0 che non esiste alcuna relazione lineare. Il coefficiente di determinazione (r²) esprime la quota di varianza di una variabile spiegata dall'altra e varia da 0 a 1.

Il calcolatore accetta due serie di valori separati da virgola, di uguale lunghezza, e restituisce r, r² e una classificazione dell'intensità. Applicazioni tipiche: relazione tra ore di studio e voto all'esame, tra temperatura e consumo energetico, tra due indicatori economici.

La formula

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

Il numeratore è la somma dei prodotti degli scarti: misura se X e Y tendono a discostarsi dalle rispettive medie nella stessa direzione (prodotto positivo) o in direzioni opposte (prodotto negativo). Il denominatore normalizza rispetto alla dispersione totale di ciascuna variabile, così r rimane sempre compreso tra −1 e +1 indipendentemente dalla scala di X o Y.

Esempio guidato

Usiamo i dati predefiniti: X = [1, 2, 3, 4, 5] e Y = [2, 4, 5, 4, 5].

Passo 1 — Calcola le medie.

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4$

Passo 2 — Calcola gli scarti e i prodotti.

i	xᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ	yᵢ − ȳ	(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)	(xᵢ−x̄)²	(yᵢ−ȳ)²
1	1	−2	2	−2	4	4	4
2	2	−1	4	0	0	1	0
3	3	0	5	+1	0	0	1
4	4	+1	4	0	0	1	0
5	5	+2	5	+1	2	4	1
		Σ			6	10	6

Passo 3 — Applica la formula.

$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$

$r^2 = (0{,}7746)^2 \approx 0{,}60$

Interpretazione: r ≈ 0,77 — correlazione forte positiva. Circa il 60% della varianza di Y è spiegata dalla relazione lineare con X.

Come leggere r

Valore di r	Interpretazione
+1,0	Relazione lineare positiva perfetta
da +0,7 a +0,99	Forte positiva
da +0,3 a +0,69	Moderata positiva
da −0,29 a +0,29	Debole o assente
da −0,3 a −0,69	Moderata negativa
da −0,7 a −0,99	Forte negativa
−1,0	Relazione lineare negativa perfetta

Queste soglie sono orientative, non assolute. In epidemiologia, r = 0,3 può avere rilevanza pratica significativa; in fisica sperimentale o ingegneria di precisione, r < 0,99 potrebbe indicare un livello di errore inaccettabile.

r e r²: due domande diverse

r e r² rispondono a domande distinte:

• r indica la direzione e l'intensità dell'associazione lineare. Un valore di −0,9 è altrettanto forte di +0,9; il segno dice solo in quale verso corre la relazione.
• r² (coefficiente di determinazione) indica la quota di varianza di Y spiegata da X. Varia da 0 a 1 ed è privo di segno. r² = 0,64 significa che il 64% della dispersione di Y è attribuibile all'andamento lineare di X.

Per valutare la direzione e l'intensità della relazione lineare si usa r. Per quantificare la quota di varianza di Y attribuibile a X si usa r².

Correlazione non è causalità

Un r elevato indica solo che X e Y variano insieme in modo lineare — non dice perché. Esempi italiani che chiariscono l'equivoco:

• Nelle province italiane, il numero di farmacie e il tasso di mortalità sono correlati positivamente: entrambi crescono con l'età media della popolazione (causa comune), non perché le farmacie causino decessi.
• Nei mesi estivi, i consumi di energia elettrica per il condizionamento e le presenze turistiche nelle città d'arte aumentano insieme: la causa comune è il caldo, non un nesso diretto.
• Nei Paesi con reddito pro capite più alto si registra una maggiore aspettativa di vita: entrambi riflettono il livello di sviluppo economico e sanitario.

Stabilire la causalità richiede un esperimento controllato (o uno studio osservazionale ben progettato), la dimostrazione che la causa precede l'effetto nel tempo, e l'esclusione delle variabili confondenti.

Quando usare Spearman invece di Pearson

La correlazione di Pearson presuppone:

1. Entrambe le variabili sono continue (scala a intervalli o a rapporti).
2. La relazione è approssimativamente lineare.
3. Non sono presenti valori anomali che dominano la somma.

Quando questi presupposti non sono soddisfatti, la correlazione per ranghi di Spearman è la scelta più appropriata: si convertono entrambe le serie in ranghi e si applica la formula di Pearson sui ranghi. Spearman gestisce bene i dati ordinali (ad esempio, giudizi su scala Likert), le relazioni monotone ma non lineari, e i dataset con outlier marcati. Come regola pratica: se il grafico a dispersione mostra un andamento curvo ma coerente, oppure uno o due punti si distaccano nettamente dagli altri, Spearman è la scelta più robusta.

Domande frequenti (FAQ)

Cosa significa r = 0,7?

Un r pari a 0,7 indica una relazione lineare positiva forte tra X e Y: al crescere di X, Y tende ad aumentare in modo abbastanza regolare attorno a una retta.

Nella pratica statistica si usa spesso lo schema: |r| ≥ 0,7 correlazione forte, 0,3 ≤ |r| < 0,7 moderata, |r| < 0,3 debole — ma le soglie variano per disciplina. In psicologia e scienze sociali r = 0,5 è già considerato forte; in ingegneria o fisica sperimentale, r < 0,99 può segnalare un livello di rumore inaccettabile.

Una correlazione elevata dimostra la causalità?

No. Un r elevato indica che X e Y variano insieme in modo lineare, ma non spiega perché. Una terza variabile nascosta (la cosiddetta variabile confondente) potrebbe influenzare entrambe.

Un esempio classico: nelle città italiane, le vendite di gelati e le chiamate ai pronto soccorso per colpi di calore aumentano entrambe d'estate — la causa comune è il caldo, non il gelato. Per stabilire la causalità sono necessari un esperimento controllato, l'ordine temporale tra causa ed effetto, e l'esclusione delle variabili confondenti.

Qual è la differenza tra r e r²?

Il coefficiente di correlazione r misura la direzione e l'intensità della relazione lineare: varia da −1 (correlazione negativa perfetta) a +1 (positiva perfetta). Il coefficiente di determinazione r² indica invece la quota di varianza di Y spiegata dalla relazione lineare con X.

Ad esempio, r = 0,8 dà r² = 0,64: il 64% della variabilità di Y è attribuibile all'andamento lineare di X. r² è sempre non negativo e più immediato da interpretare in termini percentuali, ma perde il segno: da solo non dice se la relazione è positiva o negativa.

Quando conviene usare la correlazione di Spearman invece di quella di Pearson?

Usa la correlazione per ranghi di Spearman quando i dati sono ordinali (categorie graduate senza distanza uniforme), quando la relazione tra X e Y è monotona ma non lineare, oppure quando sono presenti valori anomali (outlier) che potrebbero distorcere la media. Spearman converte prima i valori in ranghi, risultando robusto a distribuzioni asimmetriche e a quei pochi punti estremi che possono condizionare pesantemente la r di Pearson.

Come regola pratica: se il grafico a dispersione mostra una curva coerente anziché una retta, o se uno o due punti si distaccano nettamente dagli altri, Spearman è la scelta più sicura.