Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice determina gli autovalori e gli autovettori di una matrice 2×2. Inserendo i quattro elementi di A = [[a, b], [c, d]], restituisce la traccia, il determinante, l'equazione caratteristica, entrambi gli autovalori — reali o complessi — e un autovettore per ogni autovalore reale, con il procedimento passo per passo.

Un autovettore di A è un vettore non nullo la cui direzione resta invariata quando la matrice agisce su di esso. Il fattore di cui viene scalato è l'autovalore:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

L'equazione caratteristica

Si riscrive $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ nella forma $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Una soluzione non nulla esiste solo quando la matrice $A - \lambda I$ è singolare, cioè quando il suo determinante si annulla:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Per una matrice 2×2 questo si sviluppa in un'equazione di secondo grado in $\lambda$:

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

dove la traccia è $\operatorname{tr}A = a + d$ e il determinante è $\det A = ad - bc$. Questi due invarianti determinano da soli entrambi gli autovalori.

Risolvere rispetto agli autovalori

Applicando la formula risolutiva all'equazione caratteristica:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

La quantità sotto radice, $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$, è il discriminante. Il suo segno stabilisce la natura degli autovalori:

• $\Delta > 0$: due autovalori reali distinti.
• $\Delta = 0$: un autovalore reale doppio.
• $\Delta < 0$: una coppia complessa coniugata $\alpha \pm \beta i$.

Esempio svolto

Consideriamo la matrice simmetrica [[2, 1], [1, 2]].

Prima traccia e determinante:

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

L'equazione caratteristica e il suo discriminante:

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

Poiché $\Delta > 0$, gli autovalori sono reali:

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

Trovare gli autovettori

Per ogni autovalore $\lambda$ si risolve $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. In una matrice 2×2 le due righe sono proporzionali, quindi una sola riga fissa la direzione. Una scelta affidabile è $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ quando $b \neq 0$.

Per $\lambda_1 = 3$:

Per $\lambda_2 = 1$:

Ogni multiplo scalare non nullo di questi vettori è a sua volta un autovettore, perché scalare un vettore non ne cambia la direzione. Una rapida verifica conferma $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ e $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$.

Il caso complesso

Quando $\Delta < 0$, la radice diventa immaginaria e gli autovalori formano una coppia complessa coniugata:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

Le matrici di rotazione ne sono l'esempio classico. La rotazione di 90° [[0, −1], [1, 0]] ha traccia 0 e determinante 1, quindi $\Delta = 0 - 4 = -4$ e gli autovalori sono $\pm i$. Una rotazione non lascia fissa alcuna direzione reale, ed è proprio per questo che non esistono autovettori reali: essi vivono nel piano complesso.

Traccia, determinante e autovalori

I due invarianti sono legati direttamente agli autovalori, il che offre un rapido controllo:

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

Nell'esempio, $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$ e $3 \cdot 1 = 3 = \det A$. Se gli autovalori non riproducono traccia e determinante, si è insinuato un errore di calcolo.

Dove si usano gli autovalori

• Diagonalizzazione: una matrice con autovalori distinti si scrive $A = PDP^{-1}$, dove $D$ contiene gli autovalori, il che rende facili da calcolare le potenze $A^n$.
• Stabilità: nel sistema $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, i segni delle parti reali degli autovalori stabiliscono se le soluzioni crescono o decadono.
• Direzioni principali: nelle matrici simmetriche gli autovettori sono ortogonali e individuano gli assi di dilatazione, fondamento dell'analisi delle componenti principali e della geometria delle forme quadratiche.