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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatrice del determinante di una matrice (2×2 e 3×3)

Formula

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

Dati di input

Dimensione della matrice3×3
Riga 1, colonna 11
Riga 1, colonna 22
Riga 1, colonna 33
Riga 2, colonna 10
Riga 2, colonna 21
Riga 2, colonna 34
Riga 3, colonna 15
Riga 3, colonna 26
Riga 3, colonna 30

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/matrix-determinant

Matematica

Calcolatrice del determinante di una matrice (2×2 e 3×3)

Calcola il determinante di una matrice 2×2 o 3×3. Inserisci gli elementi per ottenere il risultato con lo sviluppo passo passo tramite ad − bc o l’espansione per cofattori lungo la prima riga.

Dimensione della matrice

Dati di input

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

Risultati

Inserisci un valore per visualizzare i risultati.

Determinante

\begin{aligned} \det A &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \\ &= \left(1\right)\left({\text{?}}\right) - \left(2\right)\left({\text{?}}\right) + \left(3\right)\left({\text{?}}\right) \\ &= ? \end{aligned}

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Cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice trova il determinante di una matrice quadrata: un singolo numero che riassume come la matrice dilata, comprime o ribalta lo spazio. Scegli la modalità 2×2 o 3×3, inserisci gli elementi e il determinante si aggiorna insieme a uno sviluppo passo passo.

Il determinante di una matrice A si scrive det⁡A\det A oppure ∣A∣|A|.

Il determinante 2×2

Per una matrice 2×2, il determinante è il prodotto della diagonale principale meno il prodotto della diagonale secondaria:

det⁡(abcd)=ad−bc\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Esempio svolto (2×2)

Consideriamo la matrice [[1, 2], [3, 4]]:

det⁡A=(1)(4)−(2)(3)=4−6=−2\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2

Il segno negativo indica che questa trasformazione inverte l’orientamento, e il valore assoluto 2 indica che raddoppia l’area.

Il determinante 3×3 con l’espansione per cofattori

Per una matrice 3×3 si sviluppa lungo la prima riga. Ogni elemento della prima riga viene moltiplicato per il determinante del minore 2×2 che rimane eliminando la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +:

det⁡(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=a11M11−a12M12+a13M13\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}

dove i minori sono

M11=∣a22a23a32a33∣,M12=∣a21a23a31a33∣,M13=∣a21a22a31a32∣.M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.

Esempio svolto (3×3)

Consideriamo la matrice [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]]:

M11=(−2)(7)−(5)(8)=−14−40=−54M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54

M12=(4)(7)−(5)(2)=28−10=18M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18

M13=(4)(8)−(−2)(2)=32+4=36M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36

Ora si combina con gli elementi della prima riga e i segni alterni:

det⁡A=(6)(−54)−(1)(18)+(1)(36)=−324−18+36=−306\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306

La regola di Sarrus (scorciatoia per 3×3)

Un’alternativa valida solo per le matrici 3×3 è la regola di Sarrus: ricopia le prime due colonne a destra della matrice, somma i tre prodotti diagonali da sinistra a destra e sottrai i tre da destra a sinistra:

det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Dà lo stesso risultato dell’espansione per cofattori. Sarrus è rapida da applicare a mano, ma non si generalizza oltre il 3×3, perciò l’espansione per cofattori è il metodo che si insegna per primo.

Quando il determinante è zero

Un determinante nullo segnala una matrice singolare:

  • Le sue righe (e colonne) sono linearmente dipendenti.
  • La trasformazione comprime lo spazio su una retta o un piano, perdendo una dimensione.
  • La matrice non ha inversa.
  • Un sistema lineare Ax = b con A singolare non ha soluzioni oppure ne ha infinite.

Ad esempio, [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] ha determinante 0 perché ogni riga è un passo aritmetico rispetto a quella sopra, rendendo le righe linearmente dipendenti.

Significato geometrico

Il determinante misura un fattore di scala con segno:

  • 2×2: il determinante è uguale all’area con segno del parallelogramma generato dai suoi vettori colonna. Un determinante di 5 significa che le aree vengono scalate di 5; uno di −5 significa che vengono scalate di 5 con inversione dell’orientamento.
  • 3×3: il determinante è uguale al volume con segno del parallelepipedo generato dalle sue tre colonne.
  • Un valore assoluto di 1 significa che area o volume si conservano (una rotazione o riflessione); un valore assoluto di 0 significa che la figura si appiattisce ad area o volume nullo.

Proprietà utili

  • det⁡(AB)=det⁡(A) det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\,\det(B) — il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti.
  • det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A) — la trasposizione lascia invariato il determinante.
  • Scambiare due righe inverte il segno del determinante.
  • Moltiplicare una riga per uno scalare kk moltiplica il determinante per kk.
  • Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto dei suoi elementi diagonali.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos’è il determinante di una matrice?

Il determinante è un singolo numero calcolato da una matrice quadrata che riassume proprietà fondamentali della trasformazione lineare che essa rappresenta. Il suo valore assoluto indica di quanto la trasformazione scala l’area (2×2) o il volume (3×3), mentre il segno indica se l’orientamento viene conservato o invertito. Un determinante uguale a zero significa che la matrice è singolare e non ha inversa.

Che cosa significa un determinante uguale a zero?

Un determinante nullo significa che la matrice è singolare: le sue righe (o colonne) sono linearmente dipendenti, quindi la trasformazione comprime lo spazio in una dimensione inferiore. Una matrice singolare non ha inversa e un sistema lineare con matrice dei coefficienti singolare non ha soluzioni oppure ne ha infinite.

Qual è la differenza tra l’espansione per cofattori e la regola di Sarrus?

Entrambe danno lo stesso determinante 3×3. L’espansione per cofattori moltiplica ogni elemento della prima riga per il determinante del suo minore 2×2 con segni alterni e si generalizza a qualsiasi dimensione.

La regola di Sarrus è una scorciatoia che somma i tre prodotti diagonali da sinistra a destra e sottrae i tre da destra a sinistra; funziona solo per le matrici 3×3. Questa calcolatrice mostra il metodo dei cofattori perché si estende a matrici più grandi.

Che cosa significa il determinante dal punto di vista geometrico?

Per una matrice 2×2 il determinante è uguale all’area con segno del parallelogramma generato dai suoi vettori colonna. Per una matrice 3×3 è uguale al volume con segno del parallelepipedo generato dalle sue tre colonne. Un segno negativo indica che la trasformazione inverte l’orientamento (una riflessione) e un valore assoluto pari a uno significa che area o volume si conservano.

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