Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice esegue un test t a un campione a partire da statistiche di sintesi. Dati una media campionaria, la sua deviazione standard e la dimensione del campione, la confronta con una media di popolazione ipotizzata $\mu_0$ e restituisce la statistica t, i gradi di libertà e un valore p per l'alternativa a due code o a una coda che scegli.

A cosa risponde un test t a un campione

Supponiamo che un processo debba produrre una certa media: un peso di riempimento obiettivo di 50 grammi, un punteggio di riferimento, un tempo di reazione prestabilito. Raccogli un campione e la sua media si discosta un po' da quell'obiettivo. Un certo scarto è atteso per la sola variazione casuale. Il test t a un campione pone una domanda precisa: se la vera media di popolazione fosse davvero $\mu_0$, quanto sarebbe sorprendente una media campionaria così lontana? La risposta è il valore p.

La formula di t

La statistica t misura la distanza tra la media campionaria $\bar{x}$ e la media ipotizzata $\mu_0$, espressa in errori standard:

dove $s$ è la deviazione standard del campione e $n$ la dimensione del campione. Il denominatore $s/\sqrt{n}$ è l'errore standard della media: diminuisce al crescere del campione, così lo stesso scarto tra $\bar{x}$ e $\mu_0$ diventa più convincente con più dati.

Gradi di libertà

La distribuzione di riferimento è la t di Student con

gradi di libertà. Stimare la deviazione standard dai dati stessi costa un grado di libertà. Meno gradi di libertà danno alla distribuzione t code più pesanti, rendendo il test opportunamente più prudente con campioni piccoli. Al crescere di $n$ la t si avvicina alla normale standard.

Il valore p e come leggerlo

Noti $t$ e $df$, il valore p dipende dall'ipotesi alternativa. Indicando con $F_t$ la funzione di ripartizione della t:

• Due code ($\mu \ne \mu_0$): $\;p = 2\left[1 - F_t(|t|,\, df)\right]$
• Coda destra ($\mu > \mu_0$): $\;p = 1 - F_t(t,\, df)$
• Coda sinistra ($\mu < \mu_0$): $\;p = F_t(t,\, df)$

Confronta il valore p con un livello di significatività $\alpha$ scelto prima di osservare i dati, convenzionalmente 0,05:

• p < α — il risultato è statisticamente significativo; i dati forniscono prove contro $\mu = \mu_0$.
• p ≥ α — i dati non forniscono prove sufficienti per rifiutare μ₀ (il che non equivale a dimostrare che la media sia μ₀).

Il valore p non è la probabilità che l'ipotesi nulla sia vera, e un risultato non significativo non prova "nessuna differenza". Misura solo quanto i dati siano compatibili con la media ipotizzata.

Esempio svolto

Un campione di $n = 30$ osservazioni ha media $\bar{x} = 52$ e deviazione standard $s = 5$. Testiamo contro una media ipotizzata di $\mu_0 = 50$ usando un'alternativa a due code.

Con $p \approx 0{,}037$, sotto 0,05, la media campionaria differisce in modo significativo da 50 al livello del 5%. Se avessimo specificato in anticipo un'alternativa a coda destra, il valore p sarebbe la metà, $\approx 0{,}0183$.

Un valore p significativo indica che una differenza è rilevabile, non quanto sia grande rispetto alla dispersione dei dati. Per associare alla vera media un intervallo di valori plausibili invece di un verdetto sì/no, abbina il test a un Calcolatore di Intervallo di Confidenza.

Ipotesi

Il test t a un campione poggia su alcune condizioni:

• Indipendenza — le osservazioni sono estratte dalla popolazione in modo indipendente.
• Normalità approssimata — la popolazione sottostante è all'incirca normale, oppure il campione è abbastanza grande perché il teorema del limite centrale renda approssimativamente normale la distribuzione campionaria della media. Con dimensioni moderate e senza asimmetria estrema, il test è piuttosto robusto.
• Una deviazione standard stimata dal campione — è esattamente per questo che la distribuzione di riferimento corretta è la t e non la normale.

Quando confronti due gruppi indipendenti anziché un campione contro un valore fisso, usa invece il Calcolatore del test t a due campioni (Welch). Se la tua statistica di test è già uno z standardizzato, il Calcolatore del valore p dal punteggio Z lo converte in valore p usando la distribuzione normale.