Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Coordinate polari e rettangolari

Un punto del piano si può individuare in due modi equivalenti. Le coordinate rettangolari (cartesiane) (x, y) danno la distanza orizzontale e verticale dall’origine. Le coordinate polari (r, θ) danno la distanza in linea retta r dall’origine e l’angolo θ che la retta verso il punto forma con il semiasse x positivo. Questo convertitore passa da un sistema all’altro in entrambe le direzioni, con l’angolo espresso in gradi o in radianti.

Entrambe le descrizioni indicano lo stesso luogo; quale sia più comoda dipende dal problema. Le coordinate rettangolari si adattano a griglie, schermi e calcoli componente per componente, mentre quelle polari si adattano a rotazioni, moto circolare e a tutto ciò che si descrive con una distanza e una direzione.

Da polari a rettangolari

Tracciando la perpendicolare dal punto all’asse x si ottiene un triangolo rettangolo. Il raggio r è l’ipotenusa, l’angolo θ sta nell’origine e i due cateti sono esattamente le coordinate:

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

Il coseno dà il cateto orizzontale e il seno quello verticale, così i segni di x e y derivano automaticamente dal quadrante di θ.

Da rettangolari a polari

Nell’altro verso si inverte il triangolo. Il raggio è l’ipotenusa, ricavata con il teorema di Pitagora, e l’angolo è la direzione del punto:

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

L’arcotangente a due argomenti atan2(y, x) si usa al posto di arctan(y/x) perché il semplice rapporto y/x non distingue un punto dal suo opposto: entrambi danno lo stesso quoziente. Tenendo x e y separati, atan2 ne legge i segni e restituisce l’angolo nel quadrante corretto, sull’intero intervallo da −180° a 180° (o da −π a π in radianti). È inoltre definita quando x = 0, dove arctan(y/x) dividerebbe per zero.

Esempio svolto

Problema: Convertire il punto rettangolare (3, 4) in forma polare.

Il raggio è la distanza dall’origine:

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

L’angolo è la direzione del punto:

θ = atan2(4, 3) ≈ 53,13°

Quindi (3, 4) diventa (5, 53,13°). La conversione inversa conferma l’andata e ritorno: x = 5·cos 53,13° ≈ 3 e y = 5·sin 53,13° ≈ 4.

L’origine e l’intervallo dell’angolo

L’origine è l’unico punto in cui la forma polare è ambigua: con r = 0 l’angolo θ resta indefinito, perché ogni direzione porta allo stesso punto. Lontano dall’origine, l’angolo restituito da atan2 è compreso tra −180° e 180°. Esistono altre convenzioni — alcuni testi indicano gli angoli in [0°, 360°) — perciò sommare 360° (o 2π) a un angolo negativo dà il valore positivo equivalente quando si preferisce quell’intervallo.

Scegliere gradi o radianti

I gradi e i radianti misurano gli stessi angoli: un giro completo è 360° o 2π, e 180° = π. I gradi sono comuni in geometria, topografia e navigazione; i radianti sono lo standard in analisi e fisica, perché rendono pulite le derivate delle funzioni trigonometriche. Imposta l’unità dell’angolo sui tuoi valori di partenza: la conversione da e verso i radianti è gestita dallo strumento.