Calcolatrice della regola di Simpson
Dati di input
| Estremo inferiore | 0 |
|---|---|
| Estremo superiore | 1 |
| Sottointervalli (pari) | 4 |
| Valori della funzione | 1, 0.94, 0.78, 0.64, 0.5 |
Calcolatrice della regola di Simpson
Approssima un integrale definito con la regola di Simpson 1/3 a partire da valori campionati della funzione. Inserisci gli estremi, un numero pari di sottointervalli e i valori f(x₀)…f(xₙ) per ottenere la stima parabolica dell’area e il passo.
Dati di input
Risultati
Inserisci un valore per visualizzare i risultati.
La regola di Simpson
La regola di Simpson stima un integrale definito sostituendo la curva con parabole invece che con segmenti rettilinei. Ogni coppia di strisce adiacenti viene approssimata con una parabola passante per tre punti, e l’integrale è approssimato dall’area totale sotto quelle parabole. Poiché una parabola segue la curvatura che una corda rettilinea trascura, la regola di Simpson è di solito molto più precisa di quella dei trapezi a parità di sforzo di campionamento.
Dividi l’intervallo [a, b] in n sottointervalli uguali di larghezza h = (b − a) / n, con n pari. Si creano così n + 1 punti della griglia x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Campionando la funzione in ogni punto si ottengono i valori f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), e la stima è:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
Questa calcolatrice lavora a partire da valori campionati della funzione e non da una formula digitata: fornisci f negli n + 1 punti equispaziati, esattamente la situazione in cui i dati provengono da misure o da una tabella.
Perché i pesi sono 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1
Prendi un blocco di tre punti [x₀, x₁, x₂] con spaziatura h. L’unica parabola passante per essi, integrata esattamente sul blocco, dà
(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)
quindi il punto medio del blocco porta peso 4 e i due estremi peso 1. Unendo blocchi consecutivi — [x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄], ecc. —, ogni punto medio mantiene il peso 4, mentre ogni punto di frontiera condiviso appartiene a due blocchi e acquisisce peso 1 + 1 = 2. I due estremi esterni appartengono a un solo blocco e restano a peso 1. Raccogliendo i termini emerge lo schema 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, tutto moltiplicato per h/3. È proprio questo appaiamento dei blocchi a richiedere che n sia pari.
Esempio svolto
Stima ∫₀¹ x² dx con n = 4 sottointervalli. Il passo è h = (1 − 0) / 4 = 0,25 e i punti della griglia sono 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. I valori campionati di x² sono:
| x | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 |
Applica la regola con i pesi 1, 4, 2, 4, 1:
∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 4(0,0625) + 2(0,25) + 4(0,5625) + 1] ∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 0,25 + 0,5 + 2,25 + 1] = (0,25/3)·4 = 1/3
Il risultato è esattamente 1/3, il valore vero dell’integrale. Non è un caso: la regola di Simpson integra in modo esatto qualsiasi polinomio fino al grado tre, quindi una quadratica come x² è catturata con errore nullo, indipendentemente dal numero di strisce.
Come si comporta l’errore
La regola di Simpson è del quarto ordine: dimezzare h riduce l’errore di circa un fattore sedici. Per una funzione con quarta derivata continua, l’errore su [a, b] è
E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)
per un ξ dell’intervallo. Ne seguono due conseguenze:
- Poiché l’errore dipende dalla quarta derivata, qualsiasi polinomio di grado tre o inferiore è integrato in modo esatto — la sua quarta derivata è zero.
- Per curve regolari il fattore h⁴ fa scendere l’errore molto in fretta, così un numero modesto di strisce basta spesso per un’alta precisione.
La regola di Simpson rispetto a quella dei trapezi
La regola dei trapezi unisce i punti con segmenti rettilinei, quindi il suo errore è proporzionale a h² (secondo ordine). Quella di Simpson adatta parabole e raggiunge h⁴ (quarto ordine), convergendo molto più in fretta a parità di punti. I compromessi:
- La regola di Simpson richiede un numero pari di sottointervalli, mentre quella dei trapezi funziona con qualsiasi n.
- Con dati rumorosi o irregolari, forzare parabole può amplificare il rumore; lì quella dei trapezi è talvolta più robusta.
Regola pratica: scegli quella di Simpson quando la funzione è regolare e vuoi alta precisione a parità di sforzo; usa quella dei trapezi per stime rapide, dati rumorosi o quando n deve essere dispari.
Note pratiche
- Solo sottointervalli pari. La regola di Simpson 1/3 appaia le strisce, quindi n deve essere pari. La calcolatrice segnala un n dispari.
- Fai combaciare il numero. Con n sottointervalli devi fornire esattamente n + 1 valori, uno per punto della griglia. La calcolatrice segnala una discrepanza affinché la spaziatura resti uniforme.
- Mantieni l’ordine. Elenca i valori da x₀ = a a xₙ = b. I punti interni di indice dispari e pari hanno pesi diversi, quindi l’ordine conta.
- Estremi invertiti. Se a è maggiore di b, il passo diventa negativo e il risultato cambia segno — coerentemente con la convenzione per cui scambiare gli estremi di un integrale lo cambia di segno.
- Solo spaziatura uguale. Questa è la regola di Simpson su griglia uniforme. Dati con spaziatura disuguale richiedono una formula di quadratura più generale.
Calcolatrici correlate
- Calcolatore dell'integrale definito di un polinomio — integrale esatto di un polinomio tramite il teorema fondamentale del calcolo
- Calcolatore della derivata di un polinomio in un punto — derivata numerica in un singolo punto
- Calcolatore di Progressione Aritmetica — termini e somme di valori equispaziati
Domande frequenti (FAQ)
Quanti valori della funzione devo inserire?
Dividere l’intervallo [a, b] in n sottointervalli crea n + 1 punti della griglia: x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Inserisci il valore della funzione in ciascuno di questi punti, quindi n sottointervalli richiedono n + 1 valori.
Poiché la regola di Simpson raggruppa le strisce a coppie, n deve essere pari: ad esempio, 4 sottointervalli su [0, 1] usano i punti 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1, cioè cinque valori. Se il numero di valori e di sottointervalli non coincide, la calcolatrice lo segnala in modo che la spaziatura resti uniforme.
Perché i pesi si alternano 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1?
La regola di Simpson adatta una parabola a ogni blocco di tre punti consecutivi e integra quella parabola in modo esatto. Su un blocco [x₀, x₂] l’area risulta (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂): il punto medio della parabola porta peso 4 e i due estremi peso 1.
Unendo blocchi adiacenti, ogni punto di frontiera condiviso appartiene a due parabole, quindi i suoi pesi si sommano a 2, mentre ogni punto medio conserva il peso 4. I due estremi esterni appartengono a un solo blocco e restano a peso 1. Raccogliendo i termini si ottiene il noto schema 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, tutto moltiplicato per h/3.
Quanto è precisa la regola di Simpson rispetto a quella dei trapezi?
La regola di Simpson approssima la curva con parabole invece che con segmenti rettilinei, quindi il suo errore diminuisce proporzionalmente a h⁴ (quarto ordine), mentre quella dei trapezi è solo del secondo ordine (errore proporzionale a h²). Per funzioni regolari Simpson è molto più precisa a parità di punti ed è esatta per qualsiasi polinomio fino al grado tre.
In cambio, la regola di Simpson richiede un numero pari di sottointervalli, mentre quella dei trapezi funziona con qualsiasi n. Con dati rumorosi o irregolari, forzare parabole può amplificare il rumore, perciò talvolta la regola dei trapezi è la scelta più sicura.
Cosa succede se l’estremo inferiore è maggiore di quello superiore?
Se a è maggiore di b, il passo h = (b − a) / n diventa negativo e ciò inverte il segno del risultato, coerentemente con la convenzione per cui scambiare gli estremi di un integrale lo cambia di segno. Il valore assoluto della stima resta invariato. Elenca i valori della funzione in ordine, da x₀ = a a xₙ = b, così che l’abbinamento con i punti della griglia resti corretto.
Da provare dopo
Calcolatore dell'integrale definito di un polinomio
Calcola l'integrale definito di un polinomio su [a, b] con risultato esatto tramite il Teorema Fondamentale del Calcolo. Inserisci i coefficienti e gli estremi.