Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

La regola dei trapezi

La regola dei trapezi stima un integrale definito sostituendo la curva tra i punti campionati con segmenti rettilinei. Ogni striscia diventa un trapezio e l’integrale è approssimato dall’area totale di questi trapezi.

Dividendo l’intervallo [a, b] in n sottointervalli di uguale larghezza h = (b − a) / n si ottengono n + 1 punti della griglia x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Valutando la funzione in ciascun punto si hanno i valori f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), e la stima è:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Questa calcolatrice lavora con valori campionati della funzione anziché con una formula digitata: tu fornisci f negli n + 1 punti equispaziati, esattamente la situazione che si presenta quando i dati provengono da misure o da una tabella.

Perché i pesi sono 1, 2, 2, …, 2, 1

Un singolo sottointervallo [xᵢ, xᵢ₊₁] forma un trapezio con lati paralleli f(xᵢ) e f(xᵢ₊₁) e larghezza h. La sua area è (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)). Sommando le aree degli n trapezi, ogni punto interno è condiviso da due trapezi vicini e quindi compare due volte, mentre i due estremi compaiono una sola volta. Da qui lo schema di pesi 1, 2, 2, …, 2, 1, tutti moltiplicati per h/2. Una comoda riscrittura, usata internamente, è

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ],

che somma ogni valore due volte e poi sottrae gli estremi una volta.

Esempio svolto

Stimiamo ∫₀¹ x² dx con n = 4 sottointervalli. Il passo è h = (1 − 0) / 4 = 0,25 e i punti della griglia sono 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. I valori di x² sono:

Applicando la regola:

∫ ≈ (0,25/2)·[0 + 2(0,0625) + 2(0,25) + 2(0,5625) + 1] ∫ ≈ 0,125·[0 + 0,125 + 0,5 + 1,125 + 1] = 0,125·2,75 = 0,34375

Il valore esatto è 1/3 ≈ 0,33333, quindi già quattro strisce arrivano a circa 0,01. Affinando a n = 10 si ottiene 0,335 e a n = 100, 0,333325 — l’errore cala all’incirca in proporzione a h².

Come si comporta l’errore

La regola dei trapezi è del secondo ordine: dimezzare h riduce l’errore di circa un fattore quattro. Per una funzione due volte derivabile, l’errore su [a, b] vale

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

per un certo ξ nell’intervallo. Dal segno della derivata seconda seguono due conseguenze:

• Su una curva convessa (f″ > 0) le corde stanno sopra la curva, quindi la regola sovrastima l’integrale.
• Su una curva concava (f″ < 0) le corde stanno sotto, quindi lo sottostima.

Per le rette f″ = 0, perciò la regola dei trapezi è esatta — ogni striscia è un vero trapezio, senza curvatura da mancare.

Regola dei trapezi e regola di Simpson

La regola di Simpson adatta una parabola a ogni coppia di sottointervalli invece di un segmento rettilineo. Il suo errore è proporzionale a h⁴, quindi per funzioni regolari converge molto più rapidamente a parità di punti. In cambio, Simpson richiede un numero pari di sottointervalli, mentre i trapezi funzionano con qualsiasi n. La regola dei trapezi è anche più robusta con dati rumorosi o irregolari, dove imporre una parabola su punti dispersi può amplificare il rumore.

Regola pratica: trapezi per stime rapide, dati tabulati o quando n deve essere dispari; Simpson quando la funzione è regolare e si vuole alta precisione con lo stesso campionamento.

Note pratiche

• Fai combaciare il conteggio. Con n sottointervalli devi fornire esattamente n + 1 valori, uno per punto della griglia. La calcolatrice segnala le discrepanze così che la spaziatura resti uniforme.
• Mantieni l’ordine. Elenca i valori da x₀ = a a xₙ = b. Gli estremi sono pesati diversamente dai punti interni, quindi l’ordine conta.
• Estremi invertiti. Se a è maggiore di b, il passo diventa negativo e il risultato cambia segno — coerentemente con la convenzione dello scambio degli estremi di integrazione.
• Solo spaziatura uniforme. Questa è la regola dei trapezi su griglia uniforme. Dati spaziati in modo disuguale richiedono la formula generale con larghezze per ciascuna striscia.

Calcolatrici correlate

• Calcolatore dell'integrale definito di un polinomio — integrale esatto di un polinomio tramite il teorema fondamentale del calcolo
• Calcolatore della derivata di un polinomio in un punto — derivata numerica in un singolo punto
• Calcolatore di Progressione Aritmetica — termini e somme di valori equispaziati