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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatrice della distribuzione uniforme

Dati di input

Minimo0
Massimo10
Estremo inferiore dell’intervallo2
Estremo superiore dell’intervallo5

Grafico

F(s)
s F(s)

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/uniform-distribution

Matematica

Calcolatrice della distribuzione uniforme

Calcola la densità di probabilità, la media, la varianza e la probabilità di intervallo P(c ≤ X ≤ d) di una distribuzione uniforme continua su [a, b]. Inserisci gli estremi e l’intervallo.

Dati di input

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Dettagli

F(s)
s F(s)
\begin{aligned} P(c \le X \le d) &= \dfrac{d - c}{b - a} \\ &= \dfrac{(5) - (2)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} F(c) = P(X \le c) &= \dfrac{c - a}{b - a} \\ &= \dfrac{(2) - (0)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{a + b}{2} \\ &= \dfrac{(0) + (10)}{2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{(b - a)^2}{12} \\ &= \dfrac{(10 - (0))^2}{12} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{b - a} \\ &= \dfrac{1}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}

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Calcolatrice della distribuzione uniforme

La distribuzione uniforme continua è il modello di probabilità continuo più semplice: ogni valore in un intervallo [a, b] è ugualmente probabile e nulla al di fuori può verificarsi. Descrive in modo naturale «un valore da qualche parte tra questi limiti, senza preferenze»: un errore di arrotondamento, un istante di arrivo casuale in una finestra fissa o un punto casuale su un segmento. Dati i due estremi e un intervallo [c, d], questa calcolatrice restituisce la densità di probabilità, la media, la varianza, la probabilità cumulata P(X ≤ c) e la probabilità di intervallo P(c ≤ X ≤ d).

La distribuzione uniforme

La distribuzione è descritta completamente da due parametri:

  • a — il minimo, il valore più piccolo che X può assumere
  • b — il massimo, il valore più grande che X può assumere

Poiché la probabilità è distribuita in modo uniforme, la funzione di densità è costante su [a, b] e nulla altrove:

f(x)={1b−aa≤x≤b0altrimentif(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases}

La densità deve integrare a 1 sull’intervallo di ampiezza (b − a), il che fissa l’altezza costante esattamente a 1 / (b − a).

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione (CDF) dà la probabilità che X sia minore o uguale a un valore x. Per la distribuzione uniforme è una retta che sale da 0 in a fino a 1 in b:

F(x)=P(X≤x)=x−ab−a,a≤x≤bF(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b

Al di sotto di a vale 0, al di sopra di b vale 1. È questa rampa lineare che il grafico traccia.

Probabilità di intervallo

La probabilità che X cada tra c e d è la frazione dell’ampiezza totale coperta dall’intervallo [c, d]:

P(c≤X≤d)=F(d)−F(c)=d−cb−aP(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}

Quando c o d cade fuori da [a, b], viene limitato all’estremo prima della misura, così la probabilità non supera mai 1.

Media e varianza

Poiché la distribuzione è simmetrica, il valore atteso si trova nel punto medio:

μ=a+b2\mu = \frac{a + b}{2}

La varianza misura la dispersione. Per la distribuzione uniforme continua è:

σ2=(b−a)212\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}

La deviazione standard è quindi (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Raddoppiare l’ampiezza dell’intervallo quadruplica la varianza.

GrandezzaFormula
Densità f(x)1 / (b − a)
Media μ(a + b) / 2
Varianza σ²(b − a)² / 12
CDF F(x)(x − a) / (b − a)

Esempio svolto

Un autobus arriva a una fermata in un istante distribuito uniformemente tra a = 0 e b = 15 minuti dopo il tuo arrivo. Qual è la probabilità di attendere tra c = 2 e d = 5 minuti?

Prima la densità:

f(x)=115−0=115≈0,0667f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667

La probabilità di intervallo:

P(2≤X≤5)=5−215−0=315=0,2P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0{,}2

C’è quindi una probabilità del 20% che l’attesa cada in quella finestra. L’attesa attesa è:

μ=0+152=7,5 minuti\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7{,}5 \text{ minuti}

con varianza:

σ2=(15−0)212=22512=18,75\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18{,}75

che dà una deviazione standard di circa 4,33 minuti.

La densità non è probabilità

Il valore f(x) = 1 / (b − a) è una densità, non una probabilità, e può essere maggiore di 1 quando l’intervallo è stretto: per a = 0, b = 0,5 la densità è 2. Va bene così: una densità diventa probabilità solo dopo essere stata moltiplicata per un’ampiezza. La probabilità di un singolo valore esatto è zero, quindi P(c ≤ X ≤ d) è uguale a P(c < X < d); gli estremi non contribuiscono.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos’è una distribuzione uniforme continua?

Una distribuzione uniforme continua assegna la stessa probabilità a tutti i valori di un intervallo [a, b] e probabilità nulla al di fuori. Poiché la densità è piatta, due sottointervalli della stessa ampiezza sono ugualmente probabili. Modella situazioni in cui un risultato è ugualmente probabile in qualunque punto entro limiti noti, come l’errore di arrotondamento di una misura o un istante di arrivo casuale in una finestra fissa.

Qual è la differenza tra densità e ripartizione in questo caso?

La funzione di densità (PDF) è costante, f(x) = 1 / (b − a), e rappresenta densità, non probabilità. La funzione di ripartizione (CDF), F(x) = (x − a) / (b − a), è una retta che cresce da 0 in a a 1 in b e fornisce la probabilità che X sia minore o uguale a x. La probabilità di intervallo P(c ≤ X ≤ d) è pari a F(d) − F(c).

Come si calcolano media e varianza di una distribuzione uniforme?

La media è il punto medio dell’intervallo, μ = (a + b) / 2, perché la distribuzione è simmetrica. La varianza è σ² = (b − a)² / 12; la deviazione standard è quindi (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Allargare l’intervallo aumenta la varianza in modo quadratico.

Qual è la probabilità di un singolo valore esatto?

Per qualunque distribuzione continua, compresa quella uniforme, la probabilità di un singolo valore esatto è zero. Solo gli intervalli portano una probabilità diversa da zero. Per questo P(c ≤ X ≤ d) usa l’ampiezza dell’intervallo: gli estremi c e d di per sé non contribuiscono, quindi P(c ≤ X ≤ d) è uguale a P(c < X < d).

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