Ultimo aggiornamento: 2026-06-23

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes è una regola per aggiornare una probabilità quando arriva una nuova evidenza. Parte da una convinzione iniziale su quanto sia verosimile qualcosa, la combina con la forza con cui l'evidenza punta in una direzione o nell'altra e restituisce una convinzione rivista. Questo strumento lo applica al caso più comune, il test diagnostico, trasformando la prevalenza di una condizione e l'accuratezza di un test nella probabilità che un risultato positivo sia reale.

Probabilità condizionata

Una probabilità condizionata $P(A|B)$ è la probabilità che $A$ sia vero dato che $B$ è stato osservato. Differisce dalla probabilità semplice $P(A)$ perché l'osservazione di $B$ porta con sé informazione. Un test medico positivo non rende certa una malattia: ne sposta la probabilità verso l'alto di una quantità che dipende sia da quanto è buono il test sia da quanto era diffusa la malattia in partenza. Il calcolatore della Calcolatore di Probabilità Condizionale e Teorema di Bayes lavora direttamente con $P(A \cap B)$ e $P(B)$ quando questi valori sono noti.

La formula

Il teorema di Bayes mette in relazione le due direzioni condizionate:

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

Ciascun termine ha un nome:

• La probabilità a priori $P(A)$ è la probabilità di $A$ prima dell'evidenza: per un test, la prevalenza della condizione.
• La verosimiglianza $P(B|A)$ esprime quanto è probabile l'evidenza quando $A$ è vero: la sensibilità del test, ossia il tasso di veri positivi.
• Il termine marginale (o evidenza) $P(B)$ è la probabilità complessiva di osservare l'evidenza, sia nei casi in cui $A$ è vero sia in quelli in cui non lo è. Si sviluppa come $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$, dove $P(B|\lnot A)$ è il tasso di falsi positivi.
• La probabilità a posteriori $P(A|B)$ è il risultato: la probabilità di $A$ dopo l'evidenza.

La fallacia del tasso di base

L'errore più frequente nel leggere il risultato di un test è confondere l'accuratezza del test con la probabilità che un positivo sia reale. Sono due domande diverse e, quando la condizione è rara, hanno risposte molto diverse. Un test con sensibilità del 90% e specificità del 95% sembra affidabile, ma se solo 1 persona su 100 ha la condizione, il piccolo tasso di falsi positivi si applica alle 99 persone sane: sono talmente tante che i falsi allarmi superano di parecchie volte i veri positivi. Trascurare in questo modo la prevalenza si chiama fallacia del tasso di base.

Esempio svolto

Si supponga che una condizione colpisca l'1% della popolazione esaminata, che il test individui il 90% dei casi reali e che segnali erroneamente come positivo il 5% delle persone sane. La probabilità a priori è una prevalenza di 0,01, la sensibilità è 0,90 e il tasso di falsi positivi è 0,05:

Un risultato positivo porta quindi la probabilità della condizione dall'1% a circa il 15%. Il test sposta molto l'ago della bilancia, di quindici volte, eppure un singolo positivo lascia il risultato ancora più probabilmente falso che vero. È per questo che lo screening su condizioni rare di solito è seguito da un secondo test più specifico, invece di essere considerato conclusivo.

Estensioni

Lo stesso teorema si può scrivere in forma di quote (odds), che spesso rende più intuitivo l'aggiornamento: le quote a posteriori sono pari alle quote a priori moltiplicate per il rapporto di verosimiglianza $P(B|A) / P(B|\lnot A)$. Nell'esempio precedente le quote a priori sono uno a novantanove e il rapporto di verosimiglianza è diciotto, da cui quote a posteriori di diciotto a novantanove, ovvero circa il 15%, la stessa risposta. Il calcolatore del Calcolatore di odds ratio confronta direttamente due rapporti di questo tipo.

Il teorema di Bayes supporta anche l'aggiornamento sequenziale: dopo un test, la probabilità a posteriori diventa quella a priori per il test successivo. Due test positivi indipendenti, applicati uno dopo l'altro, spingono la probabilità molto più in alto di quanto faccia ciascuno da solo, ed è esattamente così che il test di conferma guadagna la propria affidabilità. Ogni volta che l'evidenza si accumula pezzo per pezzo, la stessa regola si applica a ogni passaggio, con la conclusione di ieri che fa da punto di partenza per oggi.