Calcolatrice della covarianza

Valori di X	1, 2, 3, 4, 5
Valori di Y	2, 4, 5, 4, 5

Valori di X

1, 2, 3, 4, 5

Valori di Y

2, 4, 5, 4, 5

Risultati

Covarianza campionaria	1,5
$\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}$
Covarianza della popolazione	1,2
$\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}$
Media di X	3
Media di Y	4
Numerosità	5

Covarianza campionaria

1,5

\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}

Covarianza della popolazione

1,2

\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}

Media di X

Media di Y

Numerosità

Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

Che cosa misura la covarianza

La covarianza misura come due variabili cambiano insieme. Se i valori maggiori di una variabile tendono ad accompagnare i valori maggiori dell’altra, la covarianza è positiva; se i valori maggiori dell’una accompagnano i valori minori dell’altra, è negativa. Una covarianza vicina a zero indica una scarsa relazione lineare.

Per osservazioni appaiate (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), la covarianza si costruisce dai prodotti degli scarti appaiati: la distanza di ciascun valore x dalla media di X moltiplicata per la distanza del corrispondente valore y dalla media di Y:

Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)

Dividere questa somma per n dà la covarianza della popolazione; dividerla per n − 1 dà la covarianza campionaria.

Covarianza della popolazione e campionaria

Ci sono due formule che differiscono solo nel denominatore:

Covarianza della popolazione: σxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / n
Covarianza campionaria: sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / (n − 1)

Usa la forma della popolazione quando i dati coprono ogni membro del gruppo di interesse. Usa la forma campionaria — quella predefinita nella maggior parte dei software statistici — quando i dati sono un campione estratto da una popolazione più ampia. Il divisore n − 1, noto come correzione di Bessel, compensa la lieve sottostima che deriva dal fatto che le medie x̄ e ȳ sono stimate dallo stesso campione.

Esempio svolto

Supponiamo che un piccolo studio registri le ore di studio (X) e i voti di una prova (Y) di cinque studenti:

X = 1, 2, 3, 4, 5
Y = 2, 4, 5, 4, 5

Passo 1 — medie. x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 e ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.

Passo 2 — prodotti degli scarti. Calcola ogni (xi − x̄)(yi − ȳ):

(1 − 3)(2 − 4) = (−2)(−2) = 4
(2 − 3)(4 − 4) = (−1)(0) = 0
(3 − 3)(5 − 4) = (0)(1) = 0
(4 − 3)(4 − 4) = (1)(0) = 0
(5 − 3)(5 − 4) = (2)(1) = 2

Passo 3 — somma. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.

Passo 4 — divisione. Covarianza della popolazione = 6 / 5 = 1,2. Covarianza campionaria = 6 / (5 − 1) = 6 / 4 = 1,5.

Il risultato positivo conferma che in questi dati le ore di studio e i voti tendono a crescere insieme.

Come la covarianza si collega alla correlazione

La covarianza indica la direzione di una relazione lineare, ma non la sua forza in modo confrontabile, perché la sua grandezza dipende dalle unità e dalla scala dei dati. Il coefficiente di correlazione risolve il problema dividendo la covarianza per il prodotto delle due deviazioni standard, riportando il risultato sempre tra −1 e +1.

In breve: la covarianza è la misura non normalizzata e la correlazione è la sua controparte standardizzata e priva di unità. Quando vuoi valutare quanto strettamente due variabili si muovono insieme, calcola il coefficiente di correlazione; quando ti serve la misura grezza — ad esempio per costruire una matrice di covarianza — usa direttamente la covarianza.

Interpretare segno e grandezza

Il segno della covarianza è significativo di per sé:

Positivo: le variabili tendono a muoversi nella stessa direzione.
Negativo: le variabili tendono a muoversi in direzioni opposte.
Vicino a zero: scarsa relazione lineare.

La grandezza, invece, non è direttamente interpretabile, perché porta il prodotto delle unità delle due variabili. Una covarianza misurata in chilogrammi-centimetri non può essere confrontata con una misurata in euro all’anno. Per confrontare le forze tra insiemi di dati, converti sempre nel coefficiente di correlazione.

Calcolatrici correlate

Calcolatore del Coefficiente di Correlazione di Pearson — la misura standardizzata e priva di unità dell’associazione lineare
Calcolatore di regressione lineare — adatta una retta ai minimi quadrati e la sua pendenza a dati appaiati
Calcolatore di Varianza e Deviazione Standard — varianza e deviazione standard di una singola variabile
Calcolatore di Statistica Descrittiva — statistiche descrittive complete di un insieme di dati

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la differenza tra covarianza campionaria e covarianza della popolazione?

Entrambe misurano come due variabili variano insieme, ma differiscono nel denominatore. La covarianza della popolazione divide la somma dei prodotti degli scarti per n, trattando i dati come l’intera popolazione. La covarianza campionaria divide invece per n − 1 — la correzione di Bessel —, che compensa il fatto che un campione tende a sottostimare la dispersione reale quando le medie sono stimate dagli stessi dati.

Usa la forma della popolazione solo quando i dati coprono ogni membro del gruppo di interesse. In pratica i dati sono di solito un campione estratto da una popolazione più ampia, quindi la covarianza campionaria (÷ n − 1) è la scelta corretta ed è il valore che la maggior parte dei software statistici riporta per impostazione predefinita.

Come si collega la covarianza al coefficiente di correlazione?

Il coefficiente di correlazione è una covarianza standardizzata. Divide la covarianza per il prodotto delle due deviazioni standard, riportando il risultato sempre tra −1 e +1. Ciò rende la correlazione confrontabile tra insiemi di dati con unità e dispersioni diverse, cosa che la covarianza non consente.

Per questo la covarianza indica la direzione della relazione (positiva, negativa o nulla) ma non la sua forza in senso assoluto: una covarianza grande può semplicemente significare che le variabili hanno unità grandi. Se vuoi una misura priva di unità di quanto strettamente due variabili siano legate, calcola il coefficiente di correlazione.

Cosa indica il segno della covarianza?

Una covarianza positiva significa che le due variabili tendono a muoversi nella stessa direzione: quando X è sopra la sua media, anche Y tende a essere sopra la sua. Una covarianza negativa significa che si muovono in direzioni opposte — X sopra la media si accompagna a Y sotto la media. Una covarianza vicina a zero indica una scarsa relazione lineare.

La grandezza, invece, non è interpretabile da sola, perché dipende dalle unità e dalla scala dei dati. Per valutare la forza della relazione, guarda il coefficiente di correlazione anziché il valore grezzo della covarianza.

Che unità ha la covarianza?

La covarianza porta il prodotto delle unità delle due variabili. Se X è misurata in chilogrammi e Y in centimetri, la covarianza si esprime in chilogrammi-centimetri. Per questo il numero grezzo è difficile da interpretare e non può essere confrontato direttamente tra coppie di variabili diverse.

Il coefficiente di correlazione risolve il problema eliminando le unità e producendo un numero adimensionale tra −1 e +1. Quando ti serve un valore confrontabile o interpretabile come forza, usa la correlazione; usa la covarianza quando ti serve specificamente la misura non normalizzata, ad esempio come elemento di una matrice di covarianza.

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