Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Bogenlänge

Die Bogenlänge ist der Abstand zweier Punkte gemessen entlang eines Kreisbogens. Sie hängt von zwei Grössen ab: dem Radius r des Kreises und dem Mittelpunktswinkel θ zwischen den beiden Punkten. Die Bogenlänge spielt in der Geometrie, Maschinenbau, Architektur und in vielen Schulaufgaben eine zentrale Rolle.

Dieser Rechner berechnet drei zusammenhängende Grössen aus r und θ:

• Bogenlänge s – gebogene Strecke entlang der Kreislinie
• Sehnenlänge c – geradlinige Verbindung der Endpunkte
• Anteil am Kreisumfang f – welcher Bruchteil des Vollkreises der Bogen darstellt

Die Bogenlängenformel

$s = r \cdot \theta$

θ muss dabei im Bogenmass (Radiant) angegeben werden. Die Formel ergibt sich direkt aus der Definition des Radianten: Ein Radiant ist der Winkel, der auf einem Kreis mit Radius r einen Bogen der Länge r ausschneidet. Ein Bogen, der θ Radiant einschliesst, hat daher die Länge r · θ.

Herleitung

Der volle Kreisumfang beträgt 2πr (entspricht θ = 2π Radiant). Der Bruchteil θ/(2π) davon ergibt:

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

Die Ausgabe „Anteil am Kreisumfang" f = θ/(2π) folgt unmittelbar daraus.

Rechnen mit Gradmass

Im Alltag werden Winkel häufig in Grad angegeben. Für die Formel muss in Radiant umgerechnet werden:

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grad}} \times \frac{\pi}{180}$

Oder direkt:

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{grad}}}{360}$

Beispiel: r = 8 m, θ = 135°

• Umrechnung: 135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2,356 rad
• Bogenlänge: s = 8 × 2,356 ≈ 18,85 m
• Anteil: 135/360 = 0,375 (drei Achtel des Vollkreises)

Dieser Rechner nimmt Grad direkt entgegen, sodass keine manuelle Umrechnung nötig ist.

Sehnenlänge

Die Sehne verbindet die beiden Endpunkte des Bogens als gerade Strecke und ist stets kürzer als der Bogen:

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Rechenbeispiel: r = 10 m, θ = 90° (π/2 Radiant)

Grösse	Formel	Wert
Bogenlänge s	10 × π/2	≈ 15,71 m
Sehnenlänge c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14,14 m
Anteil f	90 / 360	= 0,25

Der Bogen ist hier rund 11 % länger als die Sehne.

Besondere Winkel

Mittelpunktswinkel	Bogenlänge	Sehnenlänge	Besonderheit
60°	πr/3	r	Sehne = Radius (gleichseitiges Dreieck)
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	Viertelkreis
180°	πr	2r	Sehne = Durchmesser
360°	2πr	0	Vollkreis; Endpunkte fallen zusammen

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Bogenlänge?

Die Bogenlänge s eines Kreisbogens berechnet sich als s = r · θ, wobei θ im Bogenmass (Radiant) angegeben sein muss. Bei einem Radius von 5 m und einem Winkel von 2 Radiant ergibt sich s = 5 × 2 = 10 m. Die Formel folgt direkt aus der Definition des Radianten: Ein Radiant ist der Winkel, der auf einem Einheitskreis einen Bogen der Länge 1 ausschneidet.

Bogenlänge mit Gradmass berechnen – wie geht das?

Den Winkel zunächst ins Bogenmass umrechnen: θ_rad = θ_grad × π / 180. Alternativ gilt s = 2πr × (θ_grad / 360). Beispiel: r = 10 m, θ = 90° → s = 2π × 10 × 0,25 = 5π ≈ 15,71 m. Dieser Rechner akzeptiert Grad direkt – eine manuelle Umrechnung ist nicht nötig.

Was ist der Unterschied zwischen Bogenlänge und Sehnenlänge?

Die Bogenlänge s = r · θ ist die gebogene Strecke entlang der Kreislinie zwischen zwei Punkten; die Sehnenlänge c = 2r · sin(θ/2) ist die geradlinige Verbindung derselben Punkte. Die Sehne ist stets kürzer als der Bogen. Bei r = 10 m und θ = 90°: Bogen ≈ 15,71 m, Sehne = 10√2 ≈ 14,14 m. Bei θ = 180° entspricht die Sehne dem Durchmesser 2r.

Wie hängen Bogenlänge und Kreisumfang zusammen?

Der Umfang C = 2πr ist die Bogenlänge des vollständigen Kreises (θ = 2π Radiant = 360°). Jeder Bogen ist ein Bruchteil des Umfangs: s = C × (θ / 2π). Die Ausgabe „Anteil am Kreisumfang" f = θ / 2π zeigt diesen Anteil direkt – f = 0,25 bedeutet ein Viertelkreis.