Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Was dieser Rechner leistet

Dieser Rechner bestimmt die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2×2-Matrix. Geben Sie die vier Einträge von A = [[a, b], [c, d]] ein, und er liefert die Spur, die Determinante, die charakteristische Gleichung, beide Eigenwerte – reell oder komplex – sowie einen Eigenvektor je reellem Eigenwert, jeweils mit Rechenweg.

Ein Eigenvektor von A ist ein von null verschiedener Vektor, dessen Richtung bei Anwendung der Matrix unverändert bleibt. Der Faktor, um den er dabei skaliert wird, ist der Eigenwert:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

Die charakteristische Gleichung

Man schreibt $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ um zu $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Eine von null verschiedene Lösung existiert nur dann, wenn die Matrix $A - \lambda I$ singulär ist, also ihre Determinante verschwindet:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Für eine 2×2-Matrix ergibt sich daraus eine quadratische Gleichung in $\lambda$:

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

Dabei ist die Spur $\operatorname{tr}A = a + d$ und die Determinante $\det A = ad - bc$. Diese beiden Invarianten legen beide Eigenwerte bereits vollständig fest.

Auflösen nach den Eigenwerten

Die Lösungsformel auf die charakteristische Gleichung angewandt liefert:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

Der Ausdruck unter der Wurzel, $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$, ist die Diskriminante. Ihr Vorzeichen bestimmt die Art der Eigenwerte:

• $\Delta > 0$: zwei verschiedene reelle Eigenwerte.
• $\Delta = 0$: ein doppelter reeller Eigenwert.
• $\Delta < 0$: ein komplex konjugiertes Paar $\alpha \pm \beta i$.

Rechenbeispiel

Betrachtet wird die symmetrische Matrix [[2, 1], [1, 2]].

Zuerst Spur und Determinante:

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

Charakteristische Gleichung und Diskriminante:

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

Da $\Delta > 0$ ist, sind die Eigenwerte reell:

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

Die Eigenvektoren bestimmen

Für jeden Eigenwert $\lambda$ löst man $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Bei einer 2×2-Matrix sind die beiden Zeilen proportional, sodass eine einzige Zeile die Richtung festlegt. Eine zuverlässige Wahl ist $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$, sofern $b \neq 0$.

Für $\lambda_1 = 3$:

Für $\lambda_2 = 1$:

Jedes von null verschiedene Vielfache dieser Vektoren ist ebenfalls ein Eigenvektor, denn Skalieren ändert die Richtung nicht. Eine kurze Probe bestätigt $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ und $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$.

Der komplexe Fall

Ist $\Delta < 0$, wird die Wurzel imaginär und die Eigenwerte bilden ein komplex konjugiertes Paar:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

Drehmatrizen sind das klassische Beispiel. Die 90°-Drehung [[0, −1], [1, 0]] hat Spur 0 und Determinante 1, also $\Delta = 0 - 4 = -4$, und die Eigenwerte sind $\pm i$. Eine Drehung lässt keine reelle Richtung fest – genau deshalb gibt es keine reellen Eigenvektoren; sie liegen stattdessen in der komplexen Ebene.

Spur, Determinante und die Eigenwerte

Die beiden Invarianten hängen direkt mit den Eigenwerten zusammen, was eine schnelle Kontrolle erlaubt:

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

Im Beispiel gilt $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$ und $3 \cdot 1 = 3 = \det A$. Reproduzieren die Eigenwerte Spur und Determinante nicht, hat sich ein Rechenfehler eingeschlichen.

Anwendungen von Eigenwerten

• Diagonalisierung: Eine Matrix mit verschiedenen Eigenwerten lässt sich als $A = PDP^{-1}$ schreiben, wobei $D$ die Eigenwerte enthält; damit werden Potenzen $A^n$ leicht berechenbar.
• Stabilität: Beim System $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ entscheiden die Vorzeichen der Realteile der Eigenwerte, ob Lösungen wachsen oder abklingen.
• Hauptrichtungen: Bei symmetrischen Matrizen sind die Eigenvektoren orthogonal und markieren die Streckungsachsen – Grundlage der Hauptkomponentenanalyse und der Geometrie quadratischer Formen.