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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Determinante einer Matrix berechnen (2×2 und 3×3)

Formel

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

Eingaben

Matrixgröße3×3
Zeile 1, Spalte 11
Zeile 1, Spalte 22
Zeile 1, Spalte 33
Zeile 2, Spalte 10
Zeile 2, Spalte 21
Zeile 2, Spalte 34
Zeile 3, Spalte 15
Zeile 3, Spalte 26
Zeile 3, Spalte 30

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/matrix-determinant

Mathematik

Determinante einer Matrix berechnen (2×2 und 3×3)

Berechnet die Determinante einer 2×2- oder 3×3-Matrix. Geben Sie die Einträge ein und erhalten Sie das Ergebnis mit Schritt-für-Schritt-Herleitung über ad − bc oder die Entwicklung nach der ersten Zeile.

Matrixgröße

Eingaben

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

Ergebnisse

Geben Sie einen Wert ein, um die Ergebnisse zu sehen.

Determinante

\begin{aligned} \det A &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \\ &= \left(1\right)\left({\text{?}}\right) - \left(2\right)\left({\text{?}}\right) + \left(3\right)\left({\text{?}}\right) \\ &= ? \end{aligned}

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Was dieser Rechner macht

Dieser Rechner bestimmt die Determinante einer quadratischen Matrix – eine einzelne Zahl, die erfasst, wie die Matrix den Raum streckt, staucht oder spiegelt. Wählen Sie den 2×2- oder 3×3-Modus, geben Sie die Einträge ein, und die Determinante wird zusammen mit einer Schritt-für-Schritt-Herleitung aktualisiert.

Die Determinante einer Matrix A wird det⁡A\det A oder ∣A∣|A| geschrieben.

Die 2×2-Determinante

Bei einer 2×2-Matrix ist die Determinante das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale:

det⁡(abcd)=ad−bc\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Beispiel (2×2)

Betrachten Sie die Matrix [[1, 2], [3, 4]]:

det⁡A=(1)(4)−(2)(3)=4−6=−2\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass diese Abbildung die Orientierung umkehrt, und der Betrag 2 bedeutet, dass sie die Fläche verdoppelt.

Die 3×3-Determinante durch Entwicklung

Bei einer 3×3-Matrix entwickeln Sie nach der ersten Zeile. Jeder Eintrag der ersten Zeile wird mit der Determinante des 2×2-Minors multipliziert, der nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +:

det⁡(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=a11M11−a12M12+a13M13\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}

mit den Minoren

M11=∣a22a23a32a33∣,M12=∣a21a23a31a33∣,M13=∣a21a22a31a32∣.M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.

Beispiel (3×3)

Betrachten Sie die Matrix [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]]:

M11=(−2)(7)−(5)(8)=−14−40=−54M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54

M12=(4)(7)−(5)(2)=28−10=18M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18

M13=(4)(8)−(−2)(2)=32+4=36M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36

Kombinieren Sie nun mit den Einträgen der ersten Zeile und den abwechselnden Vorzeichen:

det⁡A=(6)(−54)−(1)(18)+(1)(36)=−324−18+36=−306\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306

Die Regel von Sarrus (Abkürzung für 3×3)

Eine Alternative nur für 3×3-Matrizen ist die Regel von Sarrus: Kopieren Sie die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix, addieren Sie die drei vollständigen Diagonalprodukte von links nach rechts und subtrahieren Sie die drei von rechts nach links:

det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Das ergibt dasselbe Ergebnis wie die Entwicklung. Sarrus ist von Hand schnell anwendbar, lässt sich aber nicht über 3×3 hinaus verallgemeinern, weshalb zuerst die Entwicklung gelehrt wird.

Wenn die Determinante null ist

Eine Determinante von null signalisiert eine singuläre Matrix:

  • Ihre Zeilen (und Spalten) sind linear abhängig.
  • Die Abbildung lässt den Raum auf eine Gerade oder Ebene zusammenfallen und verliert eine Dimension.
  • Die Matrix hat keine Inverse.
  • Ein lineares System Ax = b mit singulärem A hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

Zum Beispiel hat [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] die Determinante 0, weil jede Zeile ein arithmetischer Schritt von der darüberliegenden ist und die Zeilen damit linear abhängig sind.

Geometrische Bedeutung

Die Determinante misst eine vorzeichenbehaftete Skalierung:

  • 2×2: Die Determinante entspricht dem vorzeichenbehafteten Flächeninhalt des von den beiden Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Eine Determinante von 5 bedeutet, dass Flächen mit 5 skaliert werden; −5 bedeutet Skalierung mit 5 und Umkehr der Orientierung.
  • 3×3: Die Determinante entspricht dem vorzeichenbehafteten Volumen des von den drei Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.
  • Ein Betrag von 1 bedeutet, dass Fläche oder Volumen erhalten bleiben (eine Drehung oder Spiegelung); ein Betrag von 0 bedeutet, dass die Figur auf null Fläche oder Volumen zusammengedrückt wird.

Nützliche Eigenschaften

  • det⁡(AB)=det⁡(A) det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\,\det(B) – die Determinante eines Produkts ist das Produkt der Determinanten.
  • det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A) – Transponieren lässt die Determinante unverändert.
  • Das Vertauschen zweier Zeilen kehrt das Vorzeichen der Determinante um.
  • Das Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar kk multipliziert die Determinante mit kk.
  • Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonaleinträge.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Determinante einer Matrix?

Die Determinante ist eine einzelne Zahl, die aus einer quadratischen Matrix berechnet wird und wesentliche Eigenschaften der zugehörigen linearen Abbildung zusammenfasst. Ihr Betrag gibt an, wie stark die Abbildung Flächen (2×2) oder Volumina (3×3) skaliert, ihr Vorzeichen, ob die Orientierung erhalten bleibt oder umgekehrt wird. Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist und keine Inverse besitzt.

Was bedeutet eine Determinante von null?

Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist: Ihre Zeilen (oder Spalten) sind linear abhängig, sodass die Abbildung den Raum in eine niedrigere Dimension zusammenfallen lässt. Eine singuläre Matrix hat keine Inverse, und ein lineares Gleichungssystem mit singulärer Koeffizientenmatrix hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

Was ist der Unterschied zwischen Entwicklung und der Regel von Sarrus?

Beide liefern dieselbe 3×3-Determinante. Die Entwicklung multipliziert jeden Eintrag der ersten Zeile mit der Determinante seines 2×2-Minors und alternierenden Vorzeichen — sie lässt sich auf jede Größe verallgemeinern.

Die Regel von Sarrus ist eine Abkürzung, die die drei Diagonalprodukte von links nach rechts addiert und die drei von rechts nach links subtrahiert; sie funktioniert nur für 3×3-Matrizen. Dieser Rechner zeigt die Entwicklungsmethode, da sie auf größere Matrizen übertragbar ist.

Was bedeutet die Determinante geometrisch?

Bei einer 2×2-Matrix entspricht die Determinante dem vorzeichenbehafteten Flächeninhalt des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Bei einer 3×3-Matrix entspricht sie dem vorzeichenbehafteten Volumen des von den drei Spalten aufgespannten Parallelepipeds. Ein negatives Vorzeichen zeigt an, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt (eine Spiegelung), und ein Betrag von eins bedeutet, dass Fläche oder Volumen erhalten bleiben.

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