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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Rechner für die negative Binomialverteilung

Eingaben

Anzahl der Erfolge3
Erfolgswahrscheinlichkeit0,4
Anzahl der Fehlversuche4

Visualisierung

PMF-Wert 0

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/negative-binomial-distribution

Mathematik

Rechner für die negative Binomialverteilung

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau k Fehlversuche vor dem r-ten Erfolg sowie die kumulative Wahrscheinlichkeit, den Erwartungswert und die Varianz der negativen Binomialverteilung.

Eingaben

Parameter

≥ 1
0 – 1

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Details

Wahrscheinlichkeiten

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k \\ &= \binom{ 4+3-1 }{ 4 } \, 0,4^{ 3 } (1-0,4)^{ 4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \leq k) &= \sum_{i=0}^{k} \binom{i+r-1}{i} \, p^r (1-p)^i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{r(1-p)}{p} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{r(1-p)}{p^2} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Verteilung

PMF-Wert 0

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Negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Fehlversuche modelliert, die vor dem Erreichen einer festen Anzahl von Erfolgen in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche auftreten. Jeder Versuch hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p und ist von allen anderen unabhängig. Sie tritt in der Zuverlässigkeitsprüfung, in der Vertriebs- und Marketinganalyse, in der Epidemiologie und bei jedem Prozess auf, der bis zum Erreichen einer Zielanzahl von Erfolgen fortgesetzt wird.

Formel

Dieser Rechner verwendet die Konvention Fehlversuche vor dem Erfolg: X ist die Anzahl der Fehlversuche k, die vor dem r-ten Erfolg beobachtet werden, also X ≥ 0. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) und die Verteilungsfunktion (CDF) lauten:

P(X=k)=(k+r−1k) pr(1−p)k,k=0,1,2,…P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \, p^{r} (1-p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots P(X≤k)=∑i=0k(i+r−1i) pr(1−p)iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{i + r - 1}{i} \, p^{r} (1-p)^{i}

Mittelwert und Varianz von X unter dieser Konvention sind:

μ=r(1−p)p,σ2=r(1−p)p2\mu = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}

Eine zweite Konvention definiert X als die Gesamtzahl der Versuche, die zum Erreichen von r Erfolgen nötig sind (X ≥ r). Diese Variable ist gleich k + r, und ihr Mittelwert beträgt r/p. Beide Konventionen beschreiben dasselbe Experiment.

Rechenbeispiel

Ein Qualitätsprüfer nimmt eine Charge an, sobald drei Einheiten die Prüfung bestanden haben. Jede Einheit besteht unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,40. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier Einheiten durchfallen, bevor die dritte Einheit besteht?

Mit r = 3, p = 0,40 und k = 4:

P(X=4)=(4+3−14)×0,403×0,604=15×0,064×0,1296=0,1244P(X = 4) = \binom{4 + 3 - 1}{4} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{4} = 15 \times 0{,}064 \times 0{,}1296 = 0{,}1244

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 12,44 %, dass genau vier Einheiten vor dem dritten Bestehen durchfallen. Die kumulative Wahrscheinlichkeit von höchstens vier Fehlversuchen ist:

P(X≤4)=∑i=04(i+2i)×0,403×0,60i=0,5801P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{i+2}{i} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{i} = 0{,}5801

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 58,01 %, dass höchstens vier Einheiten durchfallen. Die erwartete Anzahl an Fehlversuchen ist μ = 3 × 0,60 / 0,40 = 4,5, mit einer Varianz σ² = 3 × 0,60 / 0,40² = 11,25 und einer Standardabweichung σ ≈ 3,35.

Herleitung der Formel

Damit genau k Fehlversuche dem r-ten Erfolg vorausgehen:

  1. Der letzte Versuch muss der r-te Erfolg sein, was mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.
  2. Unter den vorangehenden k + r − 1 Versuchen sind genau k Fehlversuche und r − 1 Erfolge. Die Anzahl der Anordnungen beträgt C(k+r−1, k).
  3. Jeder dieser k Fehlversuche tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1−p ein, jeder der r − 1 Erfolge mit p. Zusammen mit dem abschließenden Erfolg tragen die Versuchsausgänge pʳ · (1−p)ᵏ bei.

Die Multiplikation der Anzahl der Anordnungen mit der Ausgangswahrscheinlichkeit ergibt C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. Die CDF ist die laufende Summe der PMF von 0 bis k.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Die negative Binomialverteilung verallgemeinert die geometrische Verteilung: Setzt man r = 1, zählt man die Fehlversuche vor dem ersten Erfolg, und P(X = k) = (1−p)ᵏ · p. Entsprechend ist eine negativ-binomialverteilte Zufallsgröße die Summe von r unabhängigen geometrisch verteilten Zufallsgrößen mit demselben p.

Sie ist das Gegenstück zur Binomialverteilung. Die Binomialverteilung fixiert die Anzahl der Versuche und behandelt die Erfolge als zufällig; die negative Binomialverteilung fixiert die Anzahl der Erfolge und behandelt die Anzahl der Fehlversuche (oder Versuche) als zufällig. Ist die Anzahl der Erfolge r groß und p nahe 1, wird die Verteilung annähernd normal. Muss r keine ganze Zahl sein, definiert dieselbe Formel mit der Gammafunktion die eng verwandte Polya-Verteilung, die häufig zur Modellierung überdispersen Zähldaten verwendet wird.

Praktische Anwendungen

  • Qualitätskontrolle: Modellierung, wie viele fehlerhafte Einheiten geprüft werden, bevor eine feste Anzahl einwandfreier Einheiten gefunden wird.
  • Vertrieb und Marketing: Schätzung der Anzahl erfolgloser Kontakte, bevor eine festgelegte Anzahl von Abschlüssen erreicht ist.
  • Epidemiologie und Ökologie: Anpassung überdisperser Zähldaten, bei denen die Varianz den Mittelwert übersteigt, besser als ein Poisson-Modell.
  • Zuverlässigkeitstechnik: Berechnung der erwarteten Anzahl ausgefallener Komponenten, bevor ein redundantes System genügend funktionierende Teile ansammelt.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die negative Binomialverteilung?

Die negative Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Fehlversuche, die vor dem Erreichen einer festen Anzahl von Erfolgen r in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche auftreten. Jeder Versuch hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p. Bei r = 3 und p = 0,4 beschreibt die Verteilung beispielsweise, wie viele Fehlversuche vor dem dritten Erfolg auftreten.

Im Gegensatz zur Binomialverteilung, die die Anzahl der Versuche festlegt und Erfolge zählt, legt die negative Binomialverteilung die Anzahl der Erfolge fest und zählt die dafür nötigen Versuche (oder Fehlversuche).

Welche Konvention verwendet dieser Rechner?

Dieser Rechner zählt die Anzahl der Fehlversuche k vor dem r-ten Erfolg, also k ≥ 0 und P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. Der Mittelwert ist r(1−p)/p und die Varianz r(1−p)/p².

Eine gängige Alternative definiert X als die Gesamtzahl der Versuche, die zum Erreichen von r Erfolgen nötig sind; diese Variable ist gleich k + r, der Träger beginnt bei X ≥ r und der Mittelwert beträgt r/p. Beide Konventionen beschreiben dasselbe Experiment und unterscheiden sich nur um die Konstante r.

Wie unterscheidet sie sich von der Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung legt die Anzahl der Versuche n fest und behandelt die Anzahl der Erfolge als zufällig. Die negative Binomialverteilung macht das Gegenteil: Sie legt die Anzahl der Erfolge r fest und behandelt die Anzahl der Fehlversuche (oder Versuche) als zufällig.

Bei der Binomialverteilung lautet die Stoppregel „nach n Versuchen aufhören“, bei der negativen Binomialverteilung „nach r Erfolgen aufhören“. Beide teilen dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p pro Versuch und dieselben Unabhängigkeitsannahmen.

Wie hängt sie mit der geometrischen Verteilung zusammen?

Die geometrische Verteilung ist der Spezialfall der negativen Binomialverteilung mit r = 1: die Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg. Setzt man r = 1 in P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ ein, erhält man P(X = k) = (1−p)ᵏ · p, die geometrische PMF. Entsprechend ist eine negativ-binomialverteilte Zufallsgröße die Summe von r unabhängigen geometrisch verteilten Zufallsgrößen mit demselben p.

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