Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Was dieser Rechner leistet

Dieser Rechner führt einen Einstichproben-t-Test aus Kennwerten durch. Aus einem Stichprobenmittelwert, seiner Standardabweichung und dem Stichprobenumfang vergleicht er die Stichprobe mit einem angenommenen Populationsmittelwert $\mu_0$ und liefert die t-Statistik, die Freiheitsgrade und einen p-Wert für die zwei- oder einseitige Alternative Ihrer Wahl.

Was ein Einstichproben-t-Test beantwortet

Angenommen, ein Prozess soll einen bestimmten Durchschnitt erzeugen – ein Zielfüllgewicht von 50 Gramm, einen Referenztestwert, eine vorgegebene Reaktionszeit. Sie erheben eine Stichprobe, und ihr Mittelwert liegt etwas neben diesem Ziel. Eine gewisse Abweichung ist allein durch Zufallsschwankungen zu erwarten. Der Einstichproben-t-Test stellt eine präzise Frage: Wenn der wahre Populationsmittelwert wirklich $\mu_0$ wäre, wie überraschend wäre ein Stichprobenmittelwert, der so weit entfernt liegt? Die Antwort ist der p-Wert.

Die t-Formel

Die t-Statistik misst den Abstand zwischen dem Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ und dem angenommenen Mittelwert $\mu_0$ in Standardfehlern:

Dabei ist $s$ die Stichprobenstandardabweichung und $n$ der Stichprobenumfang. Der Nenner $s/\sqrt{n}$ ist der Standardfehler des Mittelwerts – er schrumpft mit wachsender Stichprobe, sodass derselbe Abstand zwischen $\bar{x}$ und $\mu_0$ mit mehr Daten überzeugender wird.

Freiheitsgrade

Die Referenzverteilung ist die Student-t-Verteilung mit

Freiheitsgraden. Das Schätzen der Standardabweichung aus den Daten kostet einen Freiheitsgrad. Weniger Freiheitsgrade geben der t-Verteilung schwerere Ränder, was den Test bei kleinen Stichproben angemessen vorsichtiger macht. Mit wachsendem $n$ nähert sich die t-Verteilung der Standardnormalverteilung.

Der p-Wert und wie man ihn liest

Sind $t$ und $df$ bekannt, hängt der p-Wert von der Alternativhypothese ab. Mit $F_t$ als Verteilungsfunktion der t-Verteilung:

• Zweiseitig ($\mu \ne \mu_0$): $\;p = 2\left[1 - F_t(|t|,\, df)\right]$
• Rechtsseitig ($\mu > \mu_0$): $\;p = 1 - F_t(t,\, df)$
• Linksseitig ($\mu < \mu_0$): $\;p = F_t(t,\, df)$

Vergleichen Sie den p-Wert mit einem Signifikanzniveau $\alpha$, das vor dem Blick auf die Daten gewählt wird, üblicherweise 0,05:

• p < α – das Ergebnis ist statistisch signifikant; die Daten geben Evidenz gegen $\mu = \mu_0$.
• p ≥ α – die Daten reichen nicht aus, um μ₀ zu verwerfen (was nicht dasselbe ist wie zu beweisen, dass der Mittelwert μ₀ entspricht).

Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese zutrifft, und ein nicht signifikantes Ergebnis ist kein Beweis für „kein Unterschied". Er misst nur, wie gut die Daten zum angenommenen Mittelwert passen.

Rechenbeispiel

Eine Stichprobe von $n = 30$ Beobachtungen hat den Mittelwert $\bar{x} = 52$ und die Standardabweichung $s = 5$. Wir testen gegen einen angenommenen Mittelwert von $\mu_0 = 50$ mit einer zweiseitigen Alternative.

Mit $p \approx 0{,}037$, unter 0,05, unterscheidet sich der Stichprobenmittelwert auf dem 5-%-Niveau signifikant von 50. Hätten wir vorab eine rechtsseitige Alternative festgelegt, wäre der p-Wert halb so groß, $\approx 0{,}0183$.

Ein signifikanter p-Wert zeigt, dass ein Unterschied nachweisbar ist, nicht wie groß er im Verhältnis zur Streuung der Daten ist. Um dem wahren Mittelwert statt eines Ja/Nein-Urteils einen Bereich plausibler Werte zuzuordnen, kombinieren Sie den Test mit einem Konfidenzintervall-Rechner.

Annahmen

Der Einstichproben-t-Test beruht auf einigen Bedingungen:

• Unabhängigkeit – die Beobachtungen werden unabhängig aus der Population gezogen.
• Annähernde Normalverteilung – die zugrunde liegende Population ist ungefähr normal, oder die Stichprobe ist groß genug, dass der zentrale Grenzwertsatz die Stichprobenverteilung des Mittelwerts annähernd normal macht. Bei moderaten Stichprobengrößen und ohne extreme Schiefe ist der Test recht robust.
• Eine aus der Stichprobe geschätzte Standardabweichung – genau deshalb ist die t-Verteilung und nicht die Normalverteilung die richtige Referenz.

Wenn Sie zwei unabhängige Gruppen statt einer Stichprobe gegen einen festen Wert vergleichen, verwenden Sie stattdessen den Zwei-Stichproben-t-Test (Welch). Ist Ihre Teststatistik bereits ein standardisiertes z, wandelt der p-Wert aus z-Wert es mit der Normalverteilung in einen p-Wert um.