Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Polar- und kartesische Koordinaten

Ein Punkt in der Ebene lässt sich auf zwei gleichwertige Arten angeben. Kartesische Koordinaten (x, y) geben den waagerechten und senkrechten Abstand vom Ursprung an. Polarkoordinaten (r, θ) geben den geradlinigen Abstand r vom Ursprung und den Winkel θ an, den die Verbindungslinie zum Punkt mit der positiven x-Achse bildet. Dieser Umrechner wechselt in beide Richtungen zwischen den Systemen, wobei der Winkel in Grad oder im Bogenmaß ausgedrückt wird.

Beide Beschreibungen meinen denselben Ort; welche bequemer ist, hängt vom Problem ab. Kartesische Koordinaten eignen sich für Gitter, Bildschirme und komponentenweises Rechnen, Polarkoordinaten für Drehungen, Kreisbewegungen und alles, was durch Abstand und Richtung beschrieben wird.

Polar zu kartesisch

Fällt man vom Punkt das Lot auf die x-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der Radius r ist die Hypotenuse, der Winkel θ liegt am Ursprung, und die beiden Katheten sind genau die Koordinaten:

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

Der Kosinus liefert die waagerechte Kathete, der Sinus die senkrechte, sodass die Vorzeichen von x und y automatisch aus dem Quadranten von θ folgen.

Kartesisch zu polar

In die andere Richtung wird das Dreieck umgekehrt. Der Radius ist die Hypotenuse, gewonnen über den Satz des Pythagoras, und der Winkel ist die Richtung des Punktes:

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

Der Arkustangens mit zwei Argumenten atan2(y, x) wird statt arctan(y/x) verwendet, weil das bloße Verhältnis y/x einen Punkt nicht von seinem Gegenpunkt unterscheiden kann – beide liefern denselben Quotienten. Indem atan2 x und y getrennt hält, liest es ihre Vorzeichen und gibt den Winkel im richtigen Quadranten zurück, über den vollen Bereich von −180° bis 180° (bzw. −π bis π im Bogenmaß). Es ist außerdem für x = 0 definiert, wo arctan(y/x) durch null teilen würde.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Den kartesischen Punkt (3, 4) in Polarform umrechnen.

Der Radius ist der Abstand vom Ursprung:

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Der Winkel ist die Richtung des Punktes:

θ = atan2(4, 3) ≈ 53,13°

Also wird (3, 4) zu (5, 53,13°). Die Rückrechnung bestätigt den Hin- und Rückweg: x = 5·cos 53,13° ≈ 3 und y = 5·sin 53,13° ≈ 4.

Ursprung und Winkelbereich

Der Ursprung ist der einzige Punkt, an dem die Polarform mehrdeutig ist: r = 0 lässt θ unbestimmt, da jede Richtung auf denselben Punkt führt. Abseits des Ursprungs liegt der von atan2 zurückgegebene Winkel zwischen −180° und 180°. Es gibt andere Konventionen – manche Texte geben Winkel in [0°, 360°) an – sodass das Addieren von 360° (oder 2π) zu einem negativen Winkel den gleichwertigen positiven Wert liefert, wenn dieser Bereich bevorzugt wird.

Grad oder Bogenmaß wählen

Grad und Bogenmaß messen dieselben Winkel: eine volle Umdrehung sind 360° oder 2π, und 180° = π. Grad sind in Geometrie, Vermessung und Navigation üblich; das Bogenmaß ist in Analysis und Physik Standard, weil es die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen einfach macht. Stellen Sie die Winkeleinheit auf Ihre Ausgangswerte ein – die interne Umrechnung in beide Richtungen übernimmt der Umrechner.