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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Gleichverteilung-Rechner

Eingaben

Minimum0
Maximum10
Intervall-Untergrenze2
Intervall-Obergrenze5

Visualisierung

F(s)
s F(s)

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/uniform-distribution

Mathematik

Gleichverteilung-Rechner

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeitsdichte, Mittelwert, Varianz und die Intervallwahrscheinlichkeit P(c ≤ X ≤ d) einer stetigen Gleichverteilung auf [a, b]. Geben Sie die Grenzen und das Intervall ein.

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Details

F(s)
s F(s)
\begin{aligned} P(c \le X \le d) &= \dfrac{d - c}{b - a} \\ &= \dfrac{(5) - (2)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} F(c) = P(X \le c) &= \dfrac{c - a}{b - a} \\ &= \dfrac{(2) - (0)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{a + b}{2} \\ &= \dfrac{(0) + (10)}{2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{(b - a)^2}{12} \\ &= \dfrac{(10 - (0))^2}{12} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{b - a} \\ &= \dfrac{1}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}

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Gleichverteilung-Rechner

Die stetige Gleichverteilung ist das einfachste stetige Wahrscheinlichkeitsmodell: Jeder Wert in einem Intervall [a, b] ist gleich wahrscheinlich, und nichts außerhalb kann auftreten. Sie beschreibt auf natürliche Weise „ein Wert irgendwo zwischen diesen Grenzen, ohne Vorliebe" – einen Rundungsfehler, eine zufällige Ankunftszeit in einem festen Fenster oder einen zufälligen Punkt auf einer Strecke. Aus den beiden Grenzen und einem Intervall [c, d] liefert dieser Rechner die Wahrscheinlichkeitsdichte, den Mittelwert, die Varianz, die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ c) und die Intervallwahrscheinlichkeit P(c ≤ X ≤ d).

Die Gleichverteilung

Die Verteilung ist durch zwei Parameter vollständig beschrieben:

  • a – das Minimum, der kleinste Wert, den X annehmen kann
  • b – das Maximum, der größte Wert, den X annehmen kann

Da sich die Wahrscheinlichkeit gleichmäßig verteilt, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte auf [a, b] konstant und außerhalb null:

f(x)={1b−aa≤x≤b0sonstf(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{sonst} \end{cases}

Die Dichte muss über dem Intervall der Breite (b − a) zu 1 integrieren, was die konstante Höhe genau auf 1 / (b − a) festlegt.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion (CDF) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens gleich einem Wert x ist. Bei der Gleichverteilung ist sie eine Gerade, die von 0 bei a auf 1 bei b steigt:

F(x)=P(X≤x)=x−ab−a,a≤x≤bF(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b

Unterhalb von a ist sie 0, oberhalb von b ist sie 1. Diese lineare Rampe zeichnet das Diagramm.

Intervallwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen c und d liegt, ist der Anteil der Gesamtbreite, den das Intervall [c, d] abdeckt:

P(c≤X≤d)=F(d)−F(c)=d−cb−aP(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}

Fällt c oder d außerhalb von [a, b], wird der Wert vor der Messung auf die Grenze begrenzt, sodass die Wahrscheinlichkeit nie 1 überschreitet.

Mittelwert und Varianz

Da die Verteilung symmetrisch ist, liegt der Erwartungswert im Mittelpunkt:

μ=a+b2\mu = \frac{a + b}{2}

Die Varianz misst die Streuung. Für die stetige Gleichverteilung gilt:

σ2=(b−a)212\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}

Die Standardabweichung ist daher (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Eine Verdopplung der Intervallbreite vervierfacht die Varianz.

GrößeFormel
Dichte f(x)1 / (b − a)
Mittelwert μ(a + b) / 2
Varianz σ²(b − a)² / 12
CDF F(x)(x − a) / (b − a)

Rechenbeispiel

Ein Bus kommt an einer Haltestelle zu einer Zeit an, die gleichverteilt zwischen a = 0 und b = 15 Minuten nach Ihrer Ankunft liegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen c = 2 und d = 5 Minuten zu warten?

Zunächst die Dichte:

f(x)=115−0=115≈0,0667f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667

Die Intervallwahrscheinlichkeit:

P(2≤X≤5)=5−215−0=315=0,2P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0{,}2

Es besteht also eine 20-prozentige Chance, dass die Wartezeit in dieses Fenster fällt. Die erwartete Wartezeit beträgt:

μ=0+152=7,5 Minuten\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7{,}5 \text{ Minuten}

mit der Varianz:

σ2=(15−0)212=22512=18,75\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18{,}75

was eine Standardabweichung von etwa 4,33 Minuten ergibt.

Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit

Der Wert f(x) = 1 / (b − a) ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit, und kann größer als 1 sein, wenn das Intervall schmal ist – für a = 0, b = 0,5 beträgt die Dichte 2. Das ist in Ordnung: Eine Dichte wird erst nach Multiplikation mit einer Breite zur Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Werts ist null, daher ist P(c ≤ X ≤ d) gleich P(c < X < d); die Endpunkte tragen nichts bei.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine stetige Gleichverteilung?

Eine stetige Gleichverteilung weist jedem Wert in einem Intervall [a, b] die gleiche Wahrscheinlichkeit zu und außerhalb davon die Wahrscheinlichkeit null. Weil die Dichte flach ist, sind zwei Teilintervalle gleicher Breite gleich wahrscheinlich.

Sie modelliert Situationen, in denen ein Ergebnis mit gleicher Wahrscheinlichkeit irgendwo innerhalb bekannter Grenzen liegt – etwa der Rundungsfehler einer Messung oder eine zufällige Ankunftszeit in einem festen Fenster.

Was ist hier der Unterschied zwischen Dichte und Verteilungsfunktion?

Die Wahrscheinlichkeitsdichte (PDF) ist konstant, f(x) = 1 / (b − a), und beschreibt Dichte, nicht Wahrscheinlichkeit. Die Verteilungsfunktion (CDF), F(x) = (x − a) / (b − a), ist eine Gerade, die von 0 bei a auf 1 bei b steigt, und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens x ist. Die Intervallwahrscheinlichkeit P(c ≤ X ≤ d) entspricht F(d) − F(c).

Wie werden Mittelwert und Varianz einer Gleichverteilung berechnet?

Der Mittelwert ist der Mittelpunkt des Intervalls, μ = (a + b) / 2, da die Verteilung symmetrisch ist. Die Varianz beträgt σ² = (b − a)² / 12; die Standardabweichung ist somit (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Ein breiteres Intervall vergrößert die Varianz quadratisch.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Werts?

Bei jeder stetigen Verteilung, auch der Gleichverteilung, ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Werts null. Nur Intervalle tragen eine Wahrscheinlichkeit ungleich null. Deshalb verwendet P(c ≤ X ≤ d) die Intervallbreite – die Endpunkte c und d selbst tragen nichts bei, sodass P(c ≤ X ≤ d) gleich P(c < X < d) ist.

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