Simpson-Regel-Rechner
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| Untere Grenze | 0 |
|---|---|
| Obere Grenze | 1 |
| Teilintervalle (gerade) | 4 |
| Funktionswerte | 1, 0.94, 0.78, 0.64, 0.5 |
Simpson-Regel-Rechner
Bestimmtes Integral mit der simpsonschen 1/3-Regel aus abgetasteten Funktionswerten näherungsweise berechnen. Geben Sie die Grenzen, eine gerade Anzahl von Teilintervallen und die Werte f(x₀)…f(xₙ) ein, um den Flächenschätzwert und die Schrittweite zu erhalten.
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Die Simpson-Regel
Die Simpson-Regel schätzt ein bestimmtes Integral, indem sie die Kurve durch Parabeln statt durch Geradenstücke ersetzt. Jedes Paar benachbarter Streifen wird mit einer Parabel durch drei Punkte angenähert, und das Integral wird durch die Gesamtfläche unter diesen Parabeln approximiert. Da eine Parabel die Krümmung erfasst, die eine gerade Sehne verfehlt, ist die Simpson-Regel bei gleichem Aufwand meist deutlich genauer als die Trapezregel.
Teilen Sie das Intervall [a, b] in n gleiche Teilintervalle der Breite h = (b − a) / n, wobei n gerade ist. So entstehen n + 1 Stützstellen x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Das Abtasten der Funktion an jeder Stelle liefert die Werte f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), und die Schätzung lautet:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
Dieser Rechner arbeitet mit abgetasteten Funktionswerten statt mit einer eingegebenen Formel: Sie liefern f an den n + 1 gleichmäßig verteilten Stellen — genau die Situation bei Messdaten oder einer Tabelle.
Warum die Gewichte 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 lauten
Nehmen Sie einen Block aus drei Punkten [x₀, x₁, x₂] mit Abstand h. Die eindeutige Parabel durch diese Punkte, exakt über den Block integriert, ergibt
(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)
Der Blockmittelpunkt trägt also das Gewicht 4, die beiden Ränder das Gewicht 1. Fügt man aufeinanderfolgende Blöcke zusammen — [x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄] und so weiter —, behält jeder Blockmittelpunkt sein Gewicht 4, während jeder gemeinsame Grenzpunkt zu zwei Blöcken gehört und das Gewicht 1 + 1 = 2 erhält. Die beiden äußeren Randpunkte gehören zu einem einzigen Block und bleiben bei Gewicht 1. Das Zusammenfassen ergibt das Muster 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, alle mit h/3 multipliziert. Genau diese Paarbildung ist der Grund, warum n gerade sein muss.
Rechenbeispiel
Schätzen Sie ∫₀¹ x² dx mit n = 4 Teilintervallen. Die Schrittweite ist h = (1 − 0) / 4 = 0,25, die Stützstellen sind 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Die abgetasteten Werte von x² sind:
| x | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 |
Wenden Sie die Regel mit den Gewichten 1, 4, 2, 4, 1 an:
∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 4(0,0625) + 2(0,25) + 4(0,5625) + 1] ∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 0,25 + 0,5 + 2,25 + 1] = (0,25/3)·4 = 1/3
Das Ergebnis ist exakt 1/3, der wahre Wert des Integrals. Das ist kein Zufall: Die Simpson-Regel integriert jedes Polynom bis Grad drei exakt, sodass eine Parabel wie x² unabhängig von der Streifenzahl fehlerfrei erfasst wird.
Wie sich der Fehler verhält
Die Simpson-Regel ist von vierter Ordnung genau: Halbiert man h, sinkt der Fehler etwa um den Faktor sechzehn. Für eine Funktion mit stetiger vierter Ableitung ist der Fehler über [a, b]
E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)
für ein ξ im Intervall. Daraus folgt zweierlei:
- Da der Fehler von der vierten Ableitung abhängt, wird jedes Polynom vom Grad drei oder niedriger exakt integriert — seine vierte Ableitung ist null.
- Bei glatten Kurven treibt der Faktor h⁴ den Fehler sehr schnell nach unten, sodass oft schon wenige Streifen für hohe Genauigkeit genügen.
Simpson-Regel im Vergleich zur Trapezregel
Die Trapezregel verbindet Punkte mit Geradenstücken, ihr Fehler ist proportional zu h² (zweite Ordnung). Die Simpson-Regel legt Parabeln an und erreicht h⁴ (vierte Ordnung), konvergiert also bei gleicher Punktzahl viel schneller. Die Abwägungen:
- Die Simpson-Regel erfordert eine gerade Anzahl von Teilintervallen, die Trapezregel funktioniert mit jedem n.
- Bei verrauschten oder unregelmäßigen Daten kann das Erzwingen von Parabeln das Rauschen verstärken; dort ist die Trapezregel manchmal robuster.
Als Faustregel: Greifen Sie zur Simpson-Regel, wenn die Funktion glatt ist und Sie bei gleichem Aufwand hohe Genauigkeit wünschen; nutzen Sie die Trapezregel für schnelle Schätzungen, verrauschte Daten oder wenn n ungerade sein muss.
Praktische Hinweise
- Nur gerade Teilintervalle. Die simpsonsche 1/3-Regel paart die Streifen, daher muss n gerade sein. Der Rechner meldet ein ungerades n.
- Anzahl abgleichen. Bei n Teilintervallen müssen Sie genau n + 1 Werte liefern, einen je Stützstelle. Der Rechner meldet eine Abweichung, damit der Abstand gleichmäßig bleibt.
- Reihenfolge beachten. Listen Sie die Werte von x₀ = a bis xₙ = b auf. Innere Punkte mit ungeradem und geradem Index werden unterschiedlich gewichtet, die Reihenfolge zählt.
- Vertauschte Grenzen. Ist a größer als b, wird die Schrittweite negativ und das Ergebnis wechselt das Vorzeichen — passend zur Konvention, dass das Vertauschen der Integrationsgrenzen das Integral negiert.
- Nur gleichmäßiger Abstand. Dies ist die Simpson-Regel auf einem gleichmäßigen Gitter. Ungleichmäßig verteilte Daten erfordern eine allgemeinere Quadraturformel.
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- Ableitung eines Polynoms an einem Punkt — numerische Ableitung an einem Punkt
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie viele Funktionswerte muss ich eingeben?
Teilt man das Intervall [a, b] in n Teilintervalle, entstehen n + 1 Stützstellen: x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Sie geben den Funktionswert an jeder dieser Stellen an, also benötigen n Teilintervalle n + 1 Werte.
Da die Simpson-Regel die Streifen paarweise gruppiert, muss n gerade sein — 4 Teilintervalle über [0, 1] nutzen etwa die Stellen 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1, also fünf Werte. Stimmen Anzahl der Werte und Teilintervalle nicht überein, weist der Rechner darauf hin, damit der Abstand gleichmäßig bleibt.
Warum wechseln die Gewichte 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1?
Die Simpson-Regel legt durch jeden Block aus drei aufeinanderfolgenden Punkten eine Parabel und integriert diese exakt. Über einen Block [x₀, x₂] ergibt die Fläche (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂): Der Mittelpunkt der Parabel trägt das Gewicht 4, die beiden Ränder das Gewicht 1.
Werden benachbarte Blöcke verbunden, gehört jeder gemeinsame Grenzpunkt zu zwei Parabeln, sodass sich seine Gewichte zu 2 addieren, während jeder Blockmittelpunkt sein Gewicht 4 behält. Die beiden äußeren Randpunkte gehören zu nur einem Block und bleiben bei 1. Das Zusammenfassen der Terme ergibt das bekannte Muster 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, alle mit h/3 multipliziert.
Wie genau ist die Simpson-Regel im Vergleich zur Trapezregel?
Die Simpson-Regel nähert die Kurve mit Parabeln statt mit Geradenstücken, ihr Fehler nimmt daher proportional zu h⁴ ab (Genauigkeit vierter Ordnung), während die Trapezregel nur zweiter Ordnung ist (Fehler proportional zu h²). Für glatte Funktionen ist Simpson bei gleicher Punktzahl deutlich genauer und für jedes Polynom bis Grad drei sogar exakt.
Der Nachteil: Die Simpson-Regel erfordert eine gerade Anzahl von Teilintervallen, die Trapezregel funktioniert mit jedem n. Bei verrauschten oder unregelmäßigen Daten kann das Erzwingen von Parabeln das Rauschen verstärken, sodass die Trapezregel manchmal die sicherere Wahl ist.
Was passiert, wenn die untere Grenze größer als die obere ist?
Ist a größer als b, wird die Schrittweite h = (b − a) / n negativ und kehrt das Vorzeichen des Ergebnisses um — passend zur Konvention, dass das Vertauschen der Integrationsgrenzen das Integral negiert. Der Betrag des Schätzwerts bleibt gleich. Listen Sie die Funktionswerte der Reihe nach von x₀ = a bis xₙ = b auf, damit die Zuordnung zu den Stützstellen korrekt bleibt.
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