最終更新: 2026-07-01

ベルヌーイの式

ベルヌーイの式は、流れる流体の圧力・速度・高さを結びつけます。これは流線に沿ったエネルギー保存を表しており、流体が加速したり上昇したりすると、単位体積あたりの総エネルギーを一定に保つために圧力が下がります。この関係はベンチュリ効果、ピトー管による速度測定、そして日常の多くの水力に関わる現象の基礎になっています。

式

定常・非圧縮性・非粘性の流れについて、一つの流線に沿って次の3つの項の和が一定です。

$P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{一定}$

2点、点1（上流）と点2（下流）の間で書くと次のようになります。

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

各項は圧力（単位体積あたりのエネルギー）です。$P$ は静圧、$\tfrac{1}{2}\rho v^2$ は動圧、$\rho g h$ は重力（高さ）の項です。下流の圧力について解くと、この計算で用いる形になります。

$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(h_1 - h_2\right)$

記号一覧

量	記号	備考
点1の圧力	$P_1$	上流の静圧
点2の圧力	$P_2$	出力、下流の静圧
点1の速度	$v_1$	上流の流速
点2の速度	$v_2$	下流の流速
点1の高さ	$h_1$	基準面からの高さ
点2の高さ	$h_2$	基準面からの高さ
流体の密度	$\rho$	一定とみなす
重力加速度	$g$	9.80665 m/s²

計算例

ベンチュリ効果

管が細くなると、質量保存（連続の式）により A₁v₁ = A₂v₂ が成り立ち、流体は細い喉部で加速しなければなりません。するとベルヌーイの式により、その部分の静圧が下がります。絞り部でのこの圧力低下がベンチュリ効果であり、ベンチュリ流量計（測定した圧力差から流量を求める）、キャブレター（低圧の喉部に燃料を吸い込む）、アスピレーターなどに利用されます。

揚力の直感

翼の湾曲した上面を速く流れる空気は、下面の遅い空気より静圧が低く、その差が揚力に寄与します。これは有用な直感ですが、説明の一部にすぎません。揚力の完全な説明には、空気の下向きの偏向や翼まわりの循環も必要です。ベルヌーイの式は圧力差を説明しますが、力の起源すべてを説明するわけではありません。

前提と限界

ベルヌーイの式が厳密に成り立つのは、定常・非圧縮性・非粘性の流れを、一つの流線に沿って評価し、2点間にポンプ・タービン・熱の出入りがない場合だけです。実際の流れは摩擦や乱流でエネルギーを失い、長い管ではこれらの損失をヘッドロス項として加えます。気体ではおおむねマッハ0.3 を超えると非圧縮の仮定が崩れ、圧縮性の関係式が必要になります。とはいえ前提の範囲内では、この式は非常に正確で広く使われる道具です。

よくある質問 (FAQ)

ベルヌーイの式とは何ですか。

ベルヌーイの式は、定常・非圧縮性・非粘性の流れの流線上で、静圧・動圧・重力による圧力の和が一定であることを表します：P + ½ρv² + ρgh = 一定。2点間で書くと P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂ となります。これは単位体積あたりのエネルギー保存を表しており、流体が加速したり上昇したりすると、その分だけ圧力が下がります。

ベルヌーイの式はどのような前提を置いていますか。

定常流（各点の状態が時間変化しない）、非圧縮性流（密度一定。液体や、おおむねマッハ0.3未満の気体でよい近似）、非粘性流（摩擦や乱流による損失がない）を前提とします。2点は同じ流線上にあり、その間にポンプ・タービン・熱の出入りがないものとします。長い管の摩擦などこれらが成り立たない場合は、損失（ヘッドロス）項を加える必要があります。

ベルヌーイの式はベンチュリ効果をどう説明しますか。

流体が細い部分を通るとき、連続の式 A₁v₁ = A₂v₂ により細い部分で速度が増します。すると、単位体積あたりの総エネルギーは一定なので、ベルヌーイの式によりその部分の静圧が下がります。この絞り部での圧力低下がベンチュリ効果で、キャブレターや流量計、アスピレーターに利用されます。

ベルヌーイの式で航空機の揚力を説明できますか。

部分的には説明できます。翼の湾曲した上面を速く流れる空気は、下面の遅い空気より静圧が低く、その圧力差が上向きの力を生みます。ただし揚力の完全な説明には、空気の下向きの偏向（作用反作用）や翼まわりの循環も必要で、ベルヌーイの式だけでは単純化した説明にとどまります。